なんで③になるか
→we did (SV)の後ろに目的語が必要です。目的語のはたらきをする名詞を作れるものを選びます。we thought を挿入と考えて無視すると、was の主語が無いので、was の主語のはたらきができる③関係代名詞what 「もの、こと」を選びます
what が作る関係代名詞節は名詞節なので目的語のはたらきをしますからdid の目的語になります
what we thought was needed/ to finish the project
プロジェクトを完了させるために/ 必要だと私たちが考えていたこと
②か④でなやんで接続詞かなっておもったりした
→②なら 関係代名詞 which の前に先行詞が必要なのに、先行詞が無いから不正解です
→④なら 接続詞 that の後ろが完全文である必要があるのに、was の主語が無いから不正解です