基本的にはどちらでも変わりませんが、willなどの助動詞と一緒に使いたいときはhave toしかつかえません。(一つの文に助動詞はひとつなので。)あと、否定文になった時の意味がかなり違います
回答
どちらも「〜しなければならない」で、mustの方が若干強めて言う感じです。これはあまり気にしないで良いと思います。
重要なのは否定の時の意味の違いです!
don't have to 〜 → 〜する必要はない(不必要)
must not ~ → 〜してはいけない(禁止)
これは覚えましょう!!
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mustはその反対の意味です