基本的には、以下の4パターン
1.移項により、⚪️の２乗=◻️(文字を含まないようにする)の形にして、平方根をとる。(以下、2乗は^2と表すことにします。)
例) 2x^2-12=0
-12を右辺にもってきて、2x^2=12
左辺の2が邪魔なので、2で割る x^2=6
平方根をとる。 x=±√6
2.因数分解する(最も使う)
まず、
1. x^2+4x+4 =(x+2)^2
2. x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
3. x^2 - 9 =(x+3)(x-3)
これ、全部できますね？
その上で、
1. x^2+4x+4 =0
2. x^2+5x+6=0
3. x^2 - 9 =0
この2次方程式について解きます。(説明の都合上、先に2.を解説)
まず、確認ですが、
2×0=0, 0× 1/2 =0 のように、掛け算の答(積)を0にするには、掛け算の式のどちらかは0である必要がありますよね。これを踏まえて、
2. x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0
x+2とx+3の積が0なので、x+2かx+3が0である。すなわち、x+2=0か、x+3=0これを解いて、x=-2, -3
1. x^2+4x+4 =(x+2)^2=(x+2)(x+2)=0
2.と同様に考えたらわかるはずです。1.がたまたまx+2でどちらも同じになった場合だと考えることができるので、x=-2かx=-2、これはどっちも同じなのでx=-2
3. x^2 - 9 =(x+3)(x-3)
これも同じように考えてx=3, -3ですね？(なぜかわからなければ言ってください)
3.平方完成型(高校に入ったら使いまくる)
x^2+2x+1=(x+1)^2であることから
x^2+2x+2=(x+1)^2+1と表せますよね。
このように、因数分解型の1.の(⚪️+🔺)^2を用いて、それよりも多いか少ないかということを足し算や引き算で表すことを平方完成といいます。これを使います。
ex.)x^2+4x+17=(x+2)^2+13
x^2-12x+26=(x-6)^2-10
↑ ↑
あ い
ポイントは、あ の半分が い になることです。
これを使って解いていきます
x^2+4x-8=0
(x+2)^2-12=0
(x+2)^2=12
x+2=±2√3
x=±2√3-2
4.解の公式
基本的にすべての二次方程式は、3の平方完成を用いることによって、解くことが可能です。しかし、x^2+5x+17=0という二次方程式を考えてみたとき、これを平方完成で解くのは、計算ミスをしやすいです。(高校生になると、強制的に複雑でも平方完成することになってしまいますが。)
ためしにしてみます。
2x^2+5x-25/2=0
2(x+5/4)^2-125/8=0
2(x+5/4)^2=125/8
(x+5/4)^2=125/16
x+5/4=5√5/4
x=5√5-5/4
面倒くさいですね？
そこで、解の公式というものを使います。その解の公式とは、以下の内容です。
ax^2+bx+c=0ならば、その解は
________
-b±√b^2-4ac
---------------------
2a
これは、ax^2+bx+c=0という二次方程式を平方完成して得られた答を公式としたものであり、この答にa,b,cを代入すれば勝手に答は出てきます。
2x^2+3x+5=0であれば、a=2,b=3,c=5をさっきの式に代入し、その答が解です。
しかし、気をつけてもらいたいことがあります。確かに解の公式は覚えるだけで、覚えさえすれば後は代入して終了ですが、計算ミスはしやすいし、時間もかかります。だから、できるだけ使わないでください。因数分解にどうしても気づかない限りは使わなくてもいけます。平方完成は、あ のところが い のところの半分になるので、半分(1/2)しても整数である数、すなわち、偶然が あ に来るときは、平方完成の方が楽です。
二次方程式は基礎中の基礎です。できるようになってください