Question

あいす

f(x),g(x)は区間Iで連続であるとする。
このとき、f(x)g(x)はI上で連続である。

この証明を教えてください！

Answer 1

gößt

(証)
任意にa∈Iをとる
任意のε>0に対して、f, gはx=aで連続なので
∃δ>0 s.t. ∀x∈I
|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε かつ |g(x)-g(a)|<ε
このとき、ε<1 となるように取れば、|x-a|<δなるx∈Iに対して
|g(x)|≦|g(x)-g(a)|+|g(a)|
<ε+|g(a)|
<1+|g(a)|
したがって、|x-a|<δなるx∈Iに対して
|f(x)g(x)-f(a)g(a)|
≦|f(x)g(x)-f(a)g(x)|+|f(a)g(x)-f(a)g(a)|
=|f(x)-f(a)||g(x)|+|f(a)||g(x)-g(a)|
<(1+|g(a)|)ε+|f(a)|ε
=(1+|f(a)|+|g(a)|)ε
したがって、fgはI上連続である ◻︎

似たような質問をいくつかあげているようですが、基本的にこれと同じようにして解けるのでこの証明を参考にご自分でやってみるといいと思います

あいす

ありがとうございます！
参考にさせていただきます！

gößt

けっこう前の質問ですね(｀・ω・´)他の問題も頑張ってください