Question

お願いん！

これの⑵の途中式を教えてください。
極限はないんですが、どんな感じで回答書けば良いのかわかりません。
できれば、極座標を用いてほしいです。

Answer 1

DoDoraemon

x=rcosθ,y=rsinθとおくと、
lim[(x,y)→(0,0)](x+y)/(x^2+y^2)
=lim[r→0](cosθ+sinθ)/r
よって、発散するので、極値は存在しない

お願いん！

発散するんですか？

こばると

一定値を極小値で割れば発散しますよね？

gößt

一定値ではないですよ

こばると

確かに不正確ですね
「rに依存しない」という意味で一定値と申し上げました

gößt

いや、そういうことでもないのです

これは二変数関数の極限を極座標変換によって求めるときによくある誤解なのですが、θはrと無関係とは限らないです。
(x,y)→(0,0)
というのは、
r→0, θは固定
ということではなく、
r→0, θはrに合わせて任意に変化する
という意味です。本当はrに合わせてθがぐるぐる回る状態を想定しないといけないのです