Question

あいす

δ>0s.t.|x-a<δ1⇒|f(x)|<2|f(a)|

この証明を教えてください！

Answer 1

gößt

質問文は正確に書きましょう。例えばf(a)=0だったら成り立たないです

あいす

すみません。
あるa∈Iに対してf(a)≠0.のときです

gößt

これでも、
f(x)=1 (x=a)
3 (x≠a)
とかだったら成り立たないです。はじめに与えられている前提条件はぜんぶ教えてほしいです

あいす

f(x)は区間I上で連続であるとする。

gößt

それならできそうです。やってみますね
確認しておくと、
∃δ>0 s.t. (|x-a|<δ ⇒ |f(x)|<2|f(a)|)
を示せばよいのですよね

f(x)はx=aで連続なので、任意のε>0に対して
∃δ>0 s.t. (|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε)
が成り立ちます
特に、いまは|f(a)|>0なので、
∃δ>0 s.t. (|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<|f(a)|)
となります
このとき、|x-a|<δならば三角不等式より
|f(x)| ≦ |f(x)-f(a)|+|f(a)|
< |f(a)|+|f(a)|
= 2|f(a)|
が従います

あいす

ありがとうございます！
参考にさせていただきます！

gößt

どうぞ(｀・ω・´)