Question

ゲスト

問．
Gを群とする．このとき，Gの部分群が{e}とG以外にないならばGは巡回群となることを示せ．(e:Gの単位元)

答．
H:Gの部分群
G={(a_1)^n, (a_2)^n,..., (a_p)^n} (p∈N，n∈Z)
とすると，
H={e}またはH={(a_p)^n, (a_q)^n} (1≦q<p)
…またはH={(a_1)^n, (a_2)^n,..., (a_p)^n}=G
より，Gが巡回群でなければHは{e}とG以外に存在する
よって、この対偶
Gの部分群が{e}とG以外にないならばGは巡回群となる
ことも示された．◽︎

おかしな部分があったら訂正お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねけう

Gの設定の仕方がよく分からないです
①Gはp個の元の集合ということですか？
②Gがp個の元なら、肩に掛かっているnは何ですか？
③Gの単位元はどこですか？

ゲスト

質問を受けて再度教科書を見て思ったのですが、
^nは要りませんね。Gが巡回群のときGの要素がa^n (∃a，∀n∈Z)で表せるものと思っていたので、aに相当する部分がたくさんあれば巡回群でないと思って付けていました。また、nも各元に対して同じとは限らないので、仮に必要だったとしても分けるべきでした。
例えば、(a_1)^0=1のとき、これが単位元になると思っていましたが、
n=0となるとは限らないから別にeを用意すべきでした。
以上を踏まえて、
2行目以降を
G={e, a_1, a_2,..., a_n} (n∈N)
とすると、
H={e}またはH={e, a_n, a_m} (1≦m<n)
…またはH={e, a_1, a_2,..., a_n}=G
として、6行目に続けばどうでしょうか？

ねけう

Gが有限群とは仮定してないので、
G={e, a_1, a_2,..., a_n}
とはできないと思います

ねけう

仮に有限群として話を進めたとしても、Gには演算が定義されておらず、H={e, a_n, a_m} (1≦m<n)が群になっていることは言えてません

ゲスト

じゃあどうしたら良いんですか？

ねけう

一応証明を考えてみました
論理的におかしいところがあったら教えてほしいです

証) a∈G でa≠eとなるaを一つ取る(取れないときはG={e}で巡回群となる) このとき、a^(-1)∈Gを取れる。a≠a^(-1)である(a=a^(-1)なら、{e,a}がGの部分群となり仮定に反する)
今、集合A_1={e,a,a^(-1)}は仮定からG≠A_1ならばGの部分群にならない。
次にA_1≠Gとして、A_2={e,a,a^2,a^(-1),a^(-2)}を考える。a=a^2またはa^2=eとなると、A_1≠Gに反するので、a≠a^2, a≠eである。A_1のときと同様にGの部分群は{e}とGのみなので、G≠A_2であればA_2はGの部分群にはならない。
これを順次繰り返していくと、
A_n={e,a,a^2,…,a^n,a^(-1),a^(-2),…,a^(-n)}
となる。もしa^n=a^s (0≦s<n) となるsが存在したとするとA_1からA_(n-1)が全てGの部分群にならなかったことに矛盾する。
以上から
{e}⊂A_1⊂A_2⊂・・・⊂A_n⊂・・・⊂G
となり、Gが有限群なら、ある自然数t存在してA_t=Gになる。Gの要素が無限なら、これまでの議論から
G={e,a,a^2,…,a^(-1),a^(-2),…}
となり巡回群になっていることが分かる。

ゲスト

すみません、考えてたら遅くなりました。

A_1はGの部分群ではないのですか？

あと、ねけうさんの答案を参考にして、

答．
H:Gの部分群
G={e, a_I, a_j,...,} (i,j∈N，a_i≠a_jを満たすものが少なくとも1組み存在する)
とすると、
H={e}またはH={e, a_i}またはH={e, a_i, a_j}
…またはH={e, a_1, a_2,...}=G
よって、この対偶
Gの部分群が{e}とG以外にないならばGは巡回群となる
ことも示された．◽︎

とするのはどうですか？

ねけう

A_1もA_2も、Gに一致しない限り部分群になることはありません(部分群は{e}とG以外ないと仮定しているから)

対偶証明したいなら{e,a_i}や{e,a_i.a_j}が群となっていることを言わなければなりません

ゲスト

a^(-1)∈G
{e,a}はGの部分群と言っているのに
{e,a,a^(-1)}は部分群にならないのかが理解できません。
仮定で、Gの部分群は{e}またはGだから、そうでないA_1はGの部分群でないと主張しても、A_1は部分群の定義を満たすのではないのですか？(つまりA_1はGの部分群では？)

ねけう

最初の( )の中で言っているのは、もしa=a^(-1)なら{e,a}がGの部分群になってしまい、{e,a}=Gでない限り矛盾だということです。

A_1={e,a,a^(-1)}については、例えばa×aをどのように定義すればいいか考えればいいのではないでしょうか
仮定からもしA_1が群になったら、それはG自身です
ケース1 a^2=e
a=a^(-1)となり矛盾
ケース2 a^2=a
a=eとなり、aの取り方に矛盾
ケース3 a^2=a^(-1)
このとき、A_1=G={e,a,a^2}となり巡回群である

まとめると、A_1は演算の定義の仕方によっては群になることもあるが、その場合は仮定からG自身であり、巡回群になっているということです

ゲスト

よく分かりました。
お付き合いいただいてありがとうございました。