Question

gößt

Xを全順序集合とします

Xが整列集合のとき、X上の順序を保つ単射φ:X→Xはつねに
φ(x)≧x
を満たしますが、逆に任意の順序を保つ単射φ:X→Xが
φ(x)≧x
を満たすときXは整列集合になるでしょうか？

Answer 1

Crystal Clear

今更ですが、

ならない。
反例
Xを正の実数全体の集合とし、通常の順序をとる。Φ(x)=x+1とする。

gößt

こんな古い質問よく見つけましたねΣ（・□・；）

ただ、質問文の日本語があまり良くないのもあるかもしれませんが、それだと反例にならないです
この質問では含意命題の前提として、任意の順序を保つ単射 φ:X→X で
　φ(x)≧x for ∀x∈X
を満たす必要があります

Crystal Clear

先日、順序集合に関する質問があがっていたので、似た質問がないか検索してみた次第です。当方、数学が専門ではなく、順序集合もwikiを見ながら理解したところですので、頓珍漢ならごめんなさい。

反例にならない、というのがわかりません。
私の挙げた例によって、
順序を保つ単射 φ:X→X で
　φ(x)≧x for ∀x∈X
を満たすものが存在して、かつ、Xが整列集合でない、
ことを示したつもりでした。

これは、「～が存在する、ならば、Xが整列集合」の否定
になる、と考えます。

どこがおかしいのでしょうか。

gößt

数学は専門じゃないんですね。最近Q&Aでよくお見かけしますが、色々な質問に答えていて感心していました

論理記号を交えて質問の命題を書くと、全順序集合Xについて
　(∀φ:X→X, (φは順序を保つ)∧(φは単射)⇒(∀x∈X, φ(x)≧x ) ) ⇒ Xは整列集合
という命題を考えています。
　(∃φ:X→X, (φは順序を保つ)∧(φは単射)∧(∀x∈X, φ(x)≧x ) ) ⇒ Xは整列集合
とは少し違います
X上の順序を保つ単射が軒並み φ(x)≧x を満たしているなら、Xは整列集合になるのかってことですね

Crystal Clear

なるほど、私の論理の理解力が足りなかったようです。"任意の順序"を保つ？任意の、は不要では？とか思っていました。任意のφだったのですね。初めに挙げた命題の逆にあたるのですから、当然そうなりますね。
この命題は私には難しそうですが、考えてみます。

gößt

ありがとうございます