〈方針〉
・四角形DQAPは正方形なので、DP＝DQである。
・△BDP∽△BCA,△CDQ∽△CBAを使う。
→PD//ACより、平行線の同位角は等しい
・△CABの辺の比が３：４：５であることを使う。
→三平方の定理より、BC＝５
△BDP∽△BCAより、相似な図形の対応する辺の比は等しいから、BD：BC＝DP：CA
BD：DP＝BC：CA
DP＝Xとすると、BD：X＝５：３
比例式の性質より、３BD＝５X
BD＝５X/３
△CDQ∽△CBAにおいても、DQ＝Xとして同様に計算すると、DQ＝５X/４
BD＋DQ＝５より、
５X/３＋５X/４＝５
20X＋15X＝60
35X＝60
X＝12/７
０＜X＜３より、この解は問題に適する（注：上限（変域）が明確な場合、０＜X とせず、このように示した方がいいです）。
—参考—
四角形DQAPにおいて、
△APD≡△AQDより、合同な図形の対応する辺は等しいから、PD＝QD：①
DP,DQは辺AB,ACの垂線だから、
∠APD＝∠AQD＝90°：②
また、辺BCは円Oの直径だから、∠BAC＝90°：③
ゆえに、∠PDQ＝360°−90°×３＝90°：④
②,③,④より、四角形DQAPは４つの角がすべて等しいから長方形である。
そして、長方形の対辺はそれぞれ等しいから、
PD＝AQ：⑤,QD＝AP：⑥
①,⑤,⑥より、四角形DQAPは４つの辺がすべて等しくもあるから正方形である。
ここまでやって間違っていたらとても恥ずかしいですが、遠慮せず伝えてください。
訂正
違：PD//ACより、同位角は等しい
正：PD//AC,QD//ABより、同位角は等しい