Question

を

こちらの問題、解答に自信がないので確かめていただきたいです…！💦

16. 実数を成分とする 2 次の正方行列全体のなす員-ベクトル空間を とするとき, 次の問い
() Y の 1 幼の基克を表のよ

の4   記  9 で とするとき,写像 太:レラメレュ 4X と が加.線形写像であることを示せ
(9) () で示めた V の基護に関する (2) の線形写像 の表現行列を求めよ

(9 mmk 2ramk4 を示せ

⑲

7 の
FU0 0ナリ0
とする

(の ey がの =(( 1 6) (6 2) (5

 

(3 rankげ』ー dim maアューー 4の小行列式は

ある 2 次小行列式 ad一c子0 が存在
作意の 21 次小行列式 =

 

より、 renた(4) 2. よって。7anげ4 ー 2ranた4

)(

cs ea十ems en 直ds eo 十de)
加

m
9
9
9
9
9
9

 

ここここここここ

らららららららら

らららららららら

こここミマーここ

⑬

Answer 1

gößt

(3)
ちょっと違いますね⋯
f_A は4次元ベクトル空間VからVへの線形写像なのでその表現行列は4×4になります

例えば、av₁+cv₃ というベクトルは v₁, v₂, v₃, v₄ を基底として成分表示すると (a, 0, c, 0) になりますね。これより f_A の表現行列の第一列は
　a
　0
　c
　0
になります。これを他の列についても同様に考えれば
　[ a 0 b 0 ]
　[ 0 a 0 b ]
　[ c 0 d 0 ]
　[ 0 c 0 d ]
が答えになります

(4)については、ad-bc≠0 とは書かれていないため rank(A)=2 とは限らないです
rank(A)=0,1,2 のときで場合分けするのが無難かと思います。うまく記述すれば場合分けしなくても済みそうではありますが。

を

ありがとうございます、もう一度考えてみます💦

gößt

ファイトです

を

とりあえず書いてみたのですが、rankA=1の場合がよくわかりません…
よろしければ教えていただきたいです…💦

gößt

rankA=1 のときは書きづらいですね…。例えば、

rankA=1 のときdim(ImA)=1 なので、ある x∈ℝ²\{0} を用いて
　ImA＝<x>
と表せる。このとき、各X∈V に対して X＝(x₁ x₂) とおくと
　AX＝(Ax₁ Ax₂)
　　 ＝(c₁x c₂x)　　　　(c₁,c₂∈ℝ)
　　 ＝c₁(x 0)＋c₂(0 x)
　(※ 0は零ベクトルです)
と表せる。よって
　Im f_A＝<(x 0), (0 x)>
であり、(x 0), (0 x) は一次独立なので
　rank f_A＝dim(Im f_A)＝2

みたいに示すことができそうです

を

お返事遅くなり申し訳ありません、ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)