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★★☆☆
組合せは何
場合
例題 209 整数解の個数
次の条件を満たす整数の組 (x, y, z) は何組あるか。
(1)x+y+z= 7, x ≧ 0, y ≧0, z≧0
(2)x+y+z= 7, x ≧ 1, y≧1, z≧1
01★★
★★★☆
6
章
15
順列と組合せ
→ a, a, b, c
◆a, a, a,c
→ b, b, b, b
す
の
=2 (個) 必要
思考プロセス
(3)x+y+z≦ 7, x ≧ 0, y ≧0, z≧0
既知の問題に帰着
(1)7を3つの整数x,y,zに割り振る。
⇒ 7個のものを3種類に分ける。
⇒7個のを2個の(区切り)で分ける。
(例題 208 に帰着)
(1)･･
...x, y, z はすべて 1以上
⇒先にx, y, zに1つずつ0を割り振ってしまい,
残り4つの ○ の x,y,zへの割り振りを考えればよい。
対応
(3) 不等式の場合には、001000121わない
右のように対応させる。
001000010
y
対応
(x,y,z) = (2,4,1)
↓↓ (x, y, zに
xyz割り振る
(x,y,z)=(2,3,1)
Action» 係数が等しい不定方程式の整数解の個数は、重複組合せで考えよ
A
(1) 求める組の総数は7個の○と2個のの順列の総数
に等しいから
9!
7!2!
=36 (組)
を合わせた
■場所から
を選ぶと
15(通り)
(2)求める組の総数は, 7個の○と2個のに対して,
まず,3個の○を1個ずつx, y, zの値に割り振ると考
えると,残り4個の○と2個のの順列の総数に等しい
=15 (組)
から
6!
4!2!
nHr
(別解
合わ
50
含
つの箱だけに入
求める組の総数は7個の○に対して,間の6か所か
ら2か所選んでを入れる入れ方の総数に等しいから
62 = 15 (組)
(3)求める組の総数は7個の○と3個のを1列に並べ
1つ目のより左側の○の個数をxの値,
1つ目のと2つ目のの間の○の個数をyの値,
2つ目のと3つ目のの間の○の個数を2の値
とすると考えて
10!
=
=120 (組)
7!3!
209 次の条件を満たす整数の組 (x, y, z) は何組あるか。
(別解
x, y, zの3種類のもの
から重複を許して7個と
る組合せの数であるから
3H7=3+7-1C7=9C7=9C2
36(組)
○|○○○」のとき
x=1+1=2
y=3+ 1 = 4
z=0+1=1
2個ので区切られた3
つの部分には少なくとも
1個の○が含まれる。
7-(x+y+z)=u
とおくと
x+y+z+u=7
x≥0, y ≥0, z≥0, u≥0
を満たす整数の組の個数
を求める問題となる。
は何
208
(1)x+y+z=8,x≧0, y≧0, z≧ 0
(2)x+y+z=9,x≧1, y ≧1, z≧1
(3)x+y+z=10,x≧0y0z≧0
381
p.391 問題209
