■活用の問題
連続する奇数の和の性質は?
ひろとさんとはるかさんは,連続する3つの奇数の和がどんな数になるかを調べています。
1. 3. 5のとき1+3+5=9=3×3
5,7,9のとき5+7+9=21=3×7
13,15, 17 のとき 13 + 15 +17=45=3×15
ひろとさんは、これらの結果から次のことを予想しました。
(予想) 連続する3つの奇数の和は、真ん中の奇数の3倍になる。
ひろとさん
はるかさん
上の予想がいつでも成り立つことは, 次のように説明できます。
にあてはまる数や式を書き入れなさい｡
(説明) nを整数とすると､ 連続する3つの奇数は,
2n+1,2n+3, 2n +5 と表される。 それらの和は,
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)
=2n+1+2n+3+2n+5
=6n+9
2n+3
2n+3は真ん中の奇数であるから, 3 ( 2n+3 は真ん中の奇数の3倍である。
したがって, 連続する3つの奇数の和は,真ん中の奇数の3倍である。
2人は,連続する4つの奇数の和がどんな数になるかを話し合っています。
はるかさん 「連続する4つの奇数には真ん中の奇数がないね。｣
ひろとさん 「でも, 連続する4つの奇数の和は何らかの数の4倍になるのではないかな。｣
2 連続する4つの奇数のうち,もっとも小さい奇数を整数nを使って2n+1と表すとき,
そのほかの3つの奇数を文字を使って表し, 連続する4つの奇数の和を求めなさい｡
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16
8n+16
② で求めた和を表す式を変形して,連続する4つの奇数の和がどんな数の4倍であるかを
説明しなさい。
例8n + 16 は, 8n+16=4(2n+4) と変形することができる。
したがって, 連続する4つの奇数の和は,4つの奇数のうち、小さいほうから
2番目の奇数と3番目の奇数の間にある偶数の4倍である。
