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B
-3けたの自然数を
和を,a,b,c
H
図2
G
(1)
(5) 次は、先生とAさんの会話です。 これを読んで、 下の①,②に答えなさい。
生 「次の図のように. 1辺の長さが1cmの正三角形を. すき間も重なりもなく並べて, 1
辺の長さが2cm 3cm 4cm 5cm........ の大きい正三角形をつくり 1辺の長
さが短い順に1番目 2番目 3番目 4番目.·...... とします。 それぞれの図形には、
1辺の長さが2cmの正三角形が何個あるかを考えてみましょう。
1番目
2番目
3番目
4番目
先
ア
Aさん 「1辺の長さが2cmの正三角形といっても、 右の図1と
図2の正三角形があると思います。」
先生｢よいところに気がつきましたね。 では、図1と図2の正
三角形を別々に考えてみましょう。 図1の正三角形は,
それぞれの図形に何個あるでしょうか。」
Aさん 「1番目の図形には1個、2番目の図形には右の図3の
ように、1番目の図形の1個の正三角形と,これに一
部重なる2個の正三角形が下側にあるので,これらを
たして3個, 3番目の図形にはさらに下側に3個の正
三角形があるので、これもたして6個あります。」
図3
先生「正解です。同じように考えると、5番目の図形には、図1の正三角形が何個ありますか。」
Aさん「5番目の図形には、図1の正三角形がア個あります。」
先生「正解です。次に、図2の正三角形が、それぞれの図形に何個あるかも考えてみましょう。
1番目の図形と2番目の図形にはありませんが、3番目の図形には1個ありますね。4番
目の図形には3個あります。 それでは、5番目の図形には何個あるかわかりますか。」
Aさん「図1の正三角形のときと同じように考えるとよいのですね。そうすると、5番目の図形
n=
図1
には、図2の正三角形がイ個あります。」
先生「そのとおりです。 整理すると, n番目の図形 (ただし,n≧3)には、図1の正三角形
が { 1 + 2 + 3 + …
3 +
+(n-2)+(n-1)+n}個,図2の正三角形が{1+2+
.…+(n-2)}個ありますね。 ところで, n番目の図形で、1辺の長さが2cmの正
三角形の個数を数えたときに,図1の正三角形の個数のほうが図2の正三角形の個数よ
り 47個多くありました。 このときのnの値を求めてみましょう。」
Aさん 「n番目の図形で、図1の正三角形の個数から、図2の正三角形の個数をひいた差を,
n を使って表すと, ( ウ) 個となります。 これを用いて方程式をつくって解くと
です。」
先生「よくできました。」
イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 (4点)
まる数を求めなさい。 ( 5点)
図2
+
-4-
ウ □にあてはまる式を, nを使った最も簡単な形で書きなさい。また,
I
にあては
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