3次は,先生とAさん, Bさんの会話です。 これを読んで,あとの各問に答えなさい。(9点)
先生 「右の図のように、円に直線をひいて, 円
をできるだけ多くの部分に分けていきま
す。 下の表は、円にひいた直線がn本の
ときに分かれた部分が何個になるかを
まとめたものです。 これをみて 気づい
たことを話し合ってみましょう。」
直線
1本
2本
分かれた
部分
2個
4個
ひいた直線の数 n (本)
0
1
3
.4
5
分かれた部分(個)
1
2.
14
7
11
ア
で
7
イ
843
166+1420
Aさん「ひいた直線がn本のときの分かれた部分の個数は、1つ前の個数にnをたしたものになっ
ているよ。」
Bさん「そのことを使えば, 表のア
Aさん「もう少し細かく見ていくと, 分かれた部分は,
n=0のときは1個
n=1のときは,1+1=2(個)
n=2のときは, 1+1+2=4(個)
n=3のときは, 1+1+2+3=7 (個)
・・・... となるよ。」
イにあてはまる数がわかるね。」
567
(+(1h)
60
10
22+615
Bさん 「あっ、 分かれた部分の個数は, 1, 1からnまでの自然数の和をたした数になるんだね。」
Aさん 「じゃあ, nの値から, 簡単に分かれた部分の個数を求めることができるね。」
Bさん 「でも、1からnまでの自然数の和を求めるのは大変そうだよ」
先生「そんなことはありませんよ。 例えば, 1から10までの整数の和は,次のように計算でき
ます。」
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 1, 2, 3, 9, 10の順に並べる
← 10, 9, 8,
+) 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
11 + 11 + 11 +11 +11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 111が10個ある
2, 1の順に並べる
11×10 では,+2 +3 +4 +5 +6+7+8+9 +10 の2倍になるから 1から10までの整数
の和は, 11 ×10÷2=55 となる。
11×55
つまり、1から10までの整数の和は,最初の数の1と, 最後の数の10 に着目して
(1 + 10) × 10÷2=55
(M14×14÷2=15×7
=105
