4 [2021九州大] 内接する球・点と平面の距離・平面の方程式
座標空間内の4点 0 (0,0,0), A(1.0.0) B(0, 1.0) C(0.02)
を考える。
(1) 四面体 OABCに内接する球の中心の座標を求めよ.
(2) 中心のx座標, y座標, 座標がすべて正の実数であり
xy 平面, yz 平面, zx 平面のすべてと接する球を考える. この球が平面 ABC と
交わるとき,その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ.
(1) 四面体 OABCの体積をVとすると
1 1
2.
①
3
2
球の半径を とすると, 中心の座標は (r.rr)
(△OAB + △OBC + △OCA + △ABC)
AB=(-1,1,0),AC = (-1,02) より
AB.AC=1, |AB|2=2, |AC|2=5 から
② より
③
3
SABC =√√ |AB|| AC|"-(AB-AC)* = √²-S—I = }}
AOAB:
2
2
1/11/1/2 △OBC=12･1･2=1,△OCA=1･2･1=1 より
これらを③に代入して
1/2=1/3(1/2+1+1+1/2)
1=4r から r=/12
1
②に代入して,球の中心の座標は (12
(44)
(2) 球の半径をR (R>0) とすると, 中心の座標は (RRR)
平面 ABCの方程式は x+y+
x+y+2=1
.. 2x+2y+z=2
④ ⑤ より 球の中心と平面 ABCの距離は
|2R+2R+R-2|_|5R-2|
⑥
√2+22 +12
3
平面 ABCと球が交わる条件は d<R より
|5R-2|
<R から 5R-21 <9R2
3
16R2-20R+4<0
4R2-5R+1<0
(R-1)(4R-1)<0 から 12 <R<1
⑦
円の面積をSとすると
(5R-2)²
9
Suck-d)18858-2
16
---(+)
9
16
(+
π
⑦ より / <R<1から,Sは R=
R=2のとき最大値をとる。
