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2 順
neck
ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数
列
(ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである.(b.419参照)
(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る、
(i)一の位が2,4のとき
百の位は0と一の位の数以外の4通り
十の位は百の位と一の位の数以外の4通り
したがって、 4×4×2=32 (通り)
よって,(i), (i)より,偶数は、
整数を作る問題(1)
例題 185
このとき,次の数の個数を求めよ.oba ak a
異なる整数
百の位が0以外にな
(ウ) 3の倍数
ることに注意する。
Y42 偶数
20+32=52(個)
のときである。
和が3の倍数になる3つの数の組は,
{0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), (0, 4, 5},
{1, 2, 3}, {1, 3,5), {2, 3, 4), (3, 4, 5}
とき,異なる整数の和はいくつになるか、
考え方(1)(ア) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る
ときは,百の位は0にならないことに注意
(3桁の数>
(2桁の数
百 +
0 ロロ
百
■ロロ
Lo以外
(1)偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり,
0, 2, 4の場合である。
この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい
である。
{0, 1, 2} は, 102, 120, 201, 210 の4通り
{0. 1, 5}, (0, 2, 4}, {0, 4, 5}も同様に4通りることに注意する。
したがって,
{1. 2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の
する。
百の位が0以外にな
4×4=16 (通り)
百,十,一の位の数をa, b, cとすると,
100a+106+c=3×33a+a+3×36+6+c
より,
6通り
{1, 3, 5}, (2, 3, A}, {3, 4, 5} も同様に6通り
したがって,
と
よって、
6×4=24(通り)
16+24=40(個)
自ロ) ae 3(33a+36)+(a+b+c)
3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。
(2) 百の位が1となる3桁の整数
は,右のように 20個ある。
このとき,各位で,0~5の
数がいくつ使われているか考
えるとよい。
3桁の整数は
100a+106+c で表されるこ
とに注意する。
百|十
1|3
百|十
百|十
(2) 百の位には1~5の数字が各20回ずつ現れる。
十の位には, 0 の数字が合計 20回、
1~5の数字が各 16回
1
0
2
0
1
5
0
百の位が1の場合,
十の位に0が現れる
のは4回、残りの2
~5も同様、
3
2
2
4
4
ずつ現れる。
ーの位も十の位と同様である。
したがって,
(1+2+3+4+5)×20×100…百の位
+(1+2+3+4+5)×16×10 十の位
+(1+2+3+4+5)×16×1 の位
=(1+2+3+4+5)× (2000+160+16)
3
5
5
4
20個
2
0
4
0
3
2
3
第し
4
M
3
0は省略している。
5
5
M
まず, 0以外の数で
百の位を考える
解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので,
5通り
=15×2176=32640
残りの位は,百の位の数以外の5個から2個
取り出して並べればよいので,
P2=5×4=20(通り)
よって,求める3桁の数は,
よって,求める和は, 32640
十, 一の位は0も入
Focus
O○○
れて考える。
n個からr個を取る順列の総数は,P,通り
n桁の整数 -→ 最高位は0以外の数となる
5×20=100(個)
5×P2
(イ)偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと
きに分けて考える。
(i) 一の位が0のとき
残りの位は,0以外の5個から2個取り出
して並べればよいので,
P2=5×4=20(通り)
練習
T00は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。
(奇数の和
10 0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の微数また
180
(2) 5の倍数の個数
9
(1)奇数の個数
→p.345|8
1
337
