練習 曲線(x2+y2)3=4x2y2 の極方程式を求めよ。また,この曲線の概形をかけ。ただし,原点O を
179 極, x軸の正の部分を始線とする。
x=rcose,y=rsin0, x2+y2=2を方程式に代入すると
よって
ゆえに
re-rsin^20=0
(2)=4(rcose) (rsin0)2
r(r+sin20)(r-sin20)=0
r=0 または r = sin 20 またはr=-sin20
よって
ここで,r=-sin20から
-r=sin{2(0+z)}
点(r, 0) と点(-r, 0+π) は同じ点を表すから, r=sin20と
r-sin 20 は同値である。
←2sincos0=sin 20
X3
また, 曲線 r=sin20は極を通る。
したがって, 求める極方程式は
88
r=sin20
←0=0のとき
次に,f(x,y)=(x2+y2)-4x2y2 とすると, 曲線の方程式は
f(x, y) = 0...... ①
sin 20=0
f(x, -y)=f(-x, y) =f(-x, -y)=f(x, y) であるから,
曲線はx軸, y 軸, 原点に関してそれぞれ対称である。
20,0≧≦として、いくつかの0の値とそれに対応する
←(-x)²=x².
F(-y)²=y²
AB
Jet
の値を求めると,次のようになる。
π
0
r
20
0
1212
1822
兀
兀
√√2 √3
63
4
1
2
1332
√3 √2
382
・π
5 兀
・π
12
2
0
|1|2
これをもとにして, 第1象限にお
ける ① の曲線をかき, それとx
軸,y軸,原点に関して対称な曲
線もかき加えると, 曲線の概形は
yA
1
24
32
右図のようになる。
(1, 0) x
(0)
(12/20)
←y=sin20のグラフは
直線 0=7 に関して対
称でもある。
←図中の座標は,極座標
である。
検討 α を有理数とする
とき, 極方程式
r=sina0 で表される曲
線を正葉曲線 ( バラ曲
線)という。
