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3等式・不等式の証明
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例題 34
絶対値を含む不等式の証明
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次の不等式を証明せよ.
(1)|a + b|≦|a|+|6|
第1章
(2)|x|-|y|≦|x+y|
「考え方」 絶対値を含むので、このまま差をとるよりも、
例題29のように, 両辺を平方して差をとれば+d)
よい.
<絶対値の性質>
•|A|=
A≧O, B≧0 のとき,A≧B ⇔ AB
m
である.
また,
A≧A の性質を利用する.
解答
'A≧0 のとき, |A|=A
A>A)
\A<0 のとき, |A|> 0, A<0 より |A|>A
(2)(1) 不等式を利用する.
• |A|2=A²
A (A≧0)
-A (A<0)
・|A||B|=|AB|
・A≧0, A≧A,|A|≧-A
-A=A
|x|-|y|=|x+y|→|x|≧|x+y|+|y|であることから,|x|≦|x+y|+|y|
を示すと
(1)|a+b|≧0, |a|+|6|≧0 より 平方して比べる.
(|a|+|6|)-|a+b12
121,=|a|+2|a||6|+|6|-(a+b)2
1 =a²+2|ab|+b²-(a²+2ab+b²)
=2|ab|-2ab=2(|ab|-ab)
LETR
|a|0|6|≧0
より,
&ta+b≥0
14||B|=|AB|
0=104²=4²
ここで|ab|≧ab より,
ab-ab≧0となる.
よって、不等式 |a+b|≦|a|+|6| が成り立つ.
る.
(2)|x|=|x+y-y|=|(x+y)+(-y)」とすることが
できる.
(1)より
(大立公園)
Focus
注
S
AIZA を利用す
A=ab と考える.
(x+y+(-)slatelet(1)の結果を利用
x+y+lyl sex
したがって, |x|≦|x+y|+|y|
よって、不等式x-yxtyが成り立つ。
よって、
a=x+y,
b=-y
y|を左辺へ移項
立つことを示
|A|>|B| の証明 |A|-| B|=AB'> 0 を示す
例題 34 (1)は(面倒であるが) 次の場合に分けて証明することもできる。
(i) a≥0, b≥0, a+b≥0, (ii) a<0, b<0, a+b<0, (iii) a≥0, b<0, a+b≥0
(iv) a≥0, b<0, a+b<0, (v) a<0, b≥0, a+b≥0, (vi) a<0, b≥0, a+b<0
(2)は,(i) |x|-|y|<0 (ii) |x|-|y|≧0 の場合に分けて証明することもできる。
注》(1),(2)より|a|-|0|≦la+b|≦|a|+|6| が得られる.これを三角不等式という.
練習
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次の不等式を証明せよ! ((1)については例題 34 (1) を利用)
|+||
(g)
