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数列を中心にして
71 格子点の個数
y=3x-6r で表される放物線をCとする。
を自然数とし、 C上の点P(n, 3-6n) をとる. 原点を0(0, 0)
して、と線分 OP で囲まれる図形をDとする. ただし, Dは境界を含
むとする.
整数(k=0.1.2...,n) に対して,直線x=k上にありDに含まれ
る格子点の個数を とする.
(1) α を求めよ.
(2)Dに含まれる格子点の総数を求めよ.
(北海道大)
(解答)
(1) 直線 OPの方程式は、原点とP(n, 3m²-6n)
を通るから,y=(3n-6)xであり,Dは右図の網
掛け部分である.
P
(k, (3n-6) k)
Dに含まれていてx=k上にある一番上の格子
点は (k, (3n-6)k) である.
D.
(k, 3k2-6k)
一方, D に含まれていてx=k上にある一番下
の格子点は (k, 3k2-6k) である.
0
2
k
x=k
つまり, Dに含まれていてx=k上にある格子
点は、下から順に、
(k, 3k²-6k), (k, 3k2-6k+1), (k, 3k2-6k+2), …, (k, (3n-6)k)
であり、その個数 αk は,
ak=(3n-6)k-(3k2-6k-1)=-3k2+3nk+1
(2) 求める格子点の総数は,
解説講義
atata2+... +an
=ao+ak
k=1
=1+(-3k2+3nk+1)
=1-3.ln(n+1)(2n+1)+3m・1/2n(n+1)+n
=-12m(n+1)(2n+1)+2m(n+1)+(n+1)
=1/2(n+1)l-n(2n+1)+3m²+21=12(n+1)(n-n+2)
格子点とは,x座標とy座標がともに整数である点である。ある領域D内に含まれる格子
点の個数を求める問題は文系でもよく出題される.
(3n-6)k- (3k-6k) とウッカリ間
違える人が目立つので要注意。この
ように計算してしまうと、一番下に
ある y=3k2-6kの格子点は除かれ
てしまい, 数えていないことになる。
もう1つ下にある3k-6k-1を引
けばよい
