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基礎問
8 第1章 式と曲線
2 円(Ⅱ)
JX.CJ
だ円
P(x,y)をとり,点Pでの接線 ② 2直線y=1, および, x=2との交点
をそれぞれ, Q, R とする. 点 (2, 1)をAとし, AQRの面積をSとお
く.このとき、次の問いに答えよ.
(1) +2y=kとおくとき, 積 141 をkを用いて表せ.
(2) Skを用いて表せ.
(3) PC上を動くとき, Sの最大値を求めよ.
(1) 点Pはだ円上にあるので,12+4y²=4 (>0,y>0) をみた
しています。
(2) AQRは直角三角形です.
(3) のとりうる値の範囲の求め方がポイントになります. 解答は2つありま
すが、1つは演習問題1がヒントになっています.
解答
精講
(1)
の部分をCで表す。 曲線C上に点
+y²=1のx>0,y>0
mi²+4y²=4
1 (21+2y1) -4.miy=4
x₁y₁=
k²-4
4
(2) P(x,y) における接線の方程式は
+4yy=4
Q(4-44₁, 1), R(2, 4-20₁
I
4y₁
よって,
AQ=2- 4-4y_2cc1+4y-4
X1
X1
AR=1-4-2.12.x+4y-4+2y-2
4y1
y
4y₁
2y₁
∴S=
S=1/12 AQAR= (+2y-2) __ 2(k−2)2
2x₁4₁
k²-4
Q
P
x=2
y=1
R
2 x
MAT
2(k-2)
k+2
x₁+2y₁=k
y を消去して
(3) (解Ⅰ) (演習問題1の感覚で･･・)
|
vi'+4y1²=4....①
判別式≧0 だから、
演習問題 2
・=2-
ポイント
x₁²+(k-x₁)²=4
2²²2-2k+k²-4=0
8
k+2
k²-2(k²-4) 20k²-8≤0
: -2√2 ≤k≤2√2
また、右図より 11
より
だ円
よって,
2<k≧2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は6-4√2
|=2cos0
より
(0<< とおける.
ly = sin0
∴.k=z+2y=2(sinQ+cos0)=2√/2 sin (0+7)
40+ だから、 // <sin (+4)=1
3π
4 4
√2
∴.2<k
.. 2<k≤2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4√2
+.
VB' (0-1)
=1 上の点は
a²
x=acos0y= bsin0 とおける
9
だ円 +g=1と直線y=-1/12+k(k:定数)は,異なる2
点PQで交わっている.このとき, 次の問いに答えよ.
(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点Mの軌跡の方程式を求めよ.
第1章
