24. [2] なぜa=b=cならば abc≠0を満たすすべての実数a,b,cについて成り立つ と言えるのですか？ また、a≠0,b≠0,c≠0でなければならないのを まとめてabc≠0と表しているのですか？

44 基本例題 24 比例式と式の値 (1) x+y_y+z_z+x (0) のとき, 6 (2) 解答 (1) 5 b+c a x+y 5 よって = a 練習 3 24 指針 条件の式は比例式であるから, 比例式は=kとおくの方針で進める。 A (1) = とおくと x+y=5k, y+z=6k,z+x=7k これらの左辺は x,y,z が循環した形の式であるから、Aの辺々を加えてみる>まず、結 (1) a, E すると, x+y+z を k で表すことができる。 右下の 検討 参照。 (2) も同様。 - c+a b y+z 6 (2) 分母は0でないから b+c a+b C (1) x+y=5k ① +② +③ から 2(x+y+z)=18k したがって x+y+z=9k ④-②, ④-③, ④-① から, それぞれ d) A x=3k, y=2k, z=4k c+a b a+b C z+x 7 ①,y+z=6k xy+yz+zx 6k²+8k² +12k² ) x2+y2+22 6 (2)__a+1 -=kとおくと, k=0で a のとき、この式の値を求めよ。 b+c=ak ① +② + ③ から 2(a+b+c)=(a+b+c)k よって (a+b+c) (k-2)=0 a+b+c=0 または k=2 ゆえに [1] a+b+c=0のとき b+c=-a よって k= (3k)²+(2k)²+(4k)² 26k2 26 29k2 29 abc≠0 b+c_a =kとおくと ①,c+a=bk ・②a+b=ck a xy+yz+zx x2+y2+22 ②,z+x=7k ...... db=2,sld =-1 x+y=y+z_z+x 7 b+1 [2] k=2のとき, ①-② から a=6* ②-③ から b=c よって, a=b=cが得られ, これは abc≠0 を満たすすべ ての実数a,b,c について成り立つ。 [1], [2] から,求める式の値は 8 -1, 2 a+b+d (0) m2. の値を求めよ。 AFFE DE 7th- bo-do x²-1² 要例題 C abc=1, であること a+b+c 検討 ①~③の左辺は, x, 循環形 ( x y zxd 次の式が得られる)に いる。 循環形の式は、 加えたり, 引いたり 処理しやすくなること ART <x:y:z=3:2:41 答 3・2+2.4+4・3 32 +22+42 と計算することもで (2) a, abc≠0⇔a=0 かつ 60 かつ よって, ること P=(a- bc=1と 0の可能性があるから 両辺をa+b+cで割 はいけない。 (*)k=2のとき, ①, よって a=b (分母) 0の確認。 って したがって _Q=(a- b+c=2actoに P ここで,( a² +6² F この2式の辺々を引よって b-a=2(a−b) したがっ 5 5 a

（3）がよくわかりません

3 2つの2次関数f(x)=-x2+ax-a-8. g(x)=2x” があり, f(x) の最大値は0である。 ただし,αは負の定数とする。 (1) α の値を求めよ。 Wir Cuffl PIRHE S TOOLS (2) tを定数とする。 t-3≦x≦t+3 におけるf(x) の最大値をMとし, t-3≦x≦t+3 に おける g(x) の最小値をm とする。M=m=0 となるようなもの値の範囲を求めよ。 (3) tを定数とする。 t-3≦x≦t+3 における f(x) の最小値をnとし、 t-3≦x≦t+3 に おける g(x) の最大値をNとする。 N-n=48 となるようなもの値を求めよ。 (配点20)

図形の性質 記述問題として大丈夫な回答かどうか、 という事と(4)がどうすれば適切な答えになるのかということを教えていただきたいです。 相加・相乗平均を使う前の変形が上手く行きませんでした。解答例(2枚目)はどのようにやっているのか解説して欲しいです。お願いします。

図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、 2 辺AD上に点Pをとり,線分 AP の長さをとする。 このとき､ 線分 AG と線分 FP は四角形 ADGF 上で交わる。 その交点をXとする。 (1) 線分 AX の長さをかを用いて表せ。 (2) 三角形 APX の面積をかを用いて表せ。 (3) 四面体 ABPX と四面体 EFGX の体積の和を Vとする。Vをかを用 いて表せ。 (4) 点Pを辺AD上で動かすとき,Vの最小値を求めよ。 A B F IX E C G P D H

113. 「自然数k,l」を「互いに素である自然数k,l」 としたのですが別に良いですか？ また、最後「矛盾している」と書いていますが 同じことを2回書いているように思うのですが、 2回目の「矛盾している」には何の意味があるのですか？

基本例題113 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数a,bに対して, aとbが互いに素ならば, a + b と abは互いに素であるこ とを証明せよ。 091 5: 指針a+b と ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。→a+b と ab が互いに素でない,すなわち a+b と ab はある素数を公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。 ただし,m,nは整数である。 mnが素数」の倍数であるとき, mまたはnはかの倍数である。 CHART 互いに素であることの証明 解答 a+b と ab が互いに素でない,すなわち a + b と ab はある素 数』を公約数にもつと仮定すると a+b=pk ①, ab=pl ...... p.4762 重要 114 ①1 最大公約数が1を導く 2 背理法 (間接証明法) の利用 ② , lは自然数) to と表される。 ② から, a または6の倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pmとなる自然数mがある。 このとき、①から6=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, bもpの倍数である。 これはαとが互いに素であることに矛盾している。 bがpの倍数であるときも、同様にしてαはかの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって, a +6 と ab は互いに素である。 [番号] 前ページの基本例題 112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は、整数 この問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 各自=2や 3 などの場合で,このことを検証してみるとよい。 n₁ mとnが互いに素でない ⇔mとnが素数を公約 数にもつ k-mは整数。 TRAF a=pk-b 問題 素数は無限個あることを証明せよ。 [証明] n を2以上の自然数とする。 と+1は互いに素であるから, n2 =n(n+1) は異な る素因数を2個以上もつ。 同様にして。 ns=n(n+1)=n(n+1)(n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから、素数は無限個存在する。 =p(k-m') ( m' は整数) 素数が無限個あることの証明は,ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である け 21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された, とても簡潔な方 a)(w) P 481 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

数3微分 (2)の(a)の解答教えてください⁝( ;ᾥ; )⁝

[ⅣV ] 次の問いに答えよ。 ただしlogは自然対数であり, eはその底である。 (1) f(x)=x-1-logx (x>0) とする。 x キ1のときf(x) >0を示せ。 GO (2) 2つの実数s, l (0<s <t) に対して, 座標平面上の2つの曲線C1: y = esx および C2 : y = e を考える。 ある直線lが2つの曲線 C1, C2 とそれぞれ点 (a, esa), (B, eff) で接するとする。 (a) α,βをsとt を用いて表せ。 (b) α > 0 >βを示せ。 (c) 曲線 C1, C2 と直線l で囲まれた部分の面積をSとおく。 s =1のとき log t lim S を求めよ。 ただし, 必要があれば lim x+p_getB P-a Y = ctpesa B-a m = 1 - / +5² + 0を用いて良い。

数3微分 (2)の(a)の解答教えてください⁝( ;ᾥ; )⁝

[ⅣV ] 次の問いに答えよ。 ただしlogは自然対数であり, eはその底である。 (1) f(x)=x-1-logx (x>0) とする。 x キ1のときf(x) >0を示せ。 GO (2) 2つの実数s, l (0<s <t) に対して, 座標平面上の2つの曲線C1: y = esx および C2 : y = e を考える。 ある直線lが2つの曲線 C1, C2 とそれぞれ点 (a, esa), (B, eff) で接するとする。 (a) α,βをsとt を用いて表せ。 (b) α > 0 >βを示せ。 (c) 曲線 C1, C2 と直線l で囲まれた部分の面積をSとおく。 s =1のとき log t lim S を求めよ。 ただし, 必要があれば lim x+p_getB P-a Y = ctpesa B-a m = 1 - / +5² + 0を用いて良い。

105.2 記述に問題ないですか？

て求めよ｡ 後の数の差が せよ。 24148 基本事項 ② される。 下3桁が8の とみなす) Da+b を示す。 ■ +36 6 00m 122 切ると 122 である になる。 tcが 基本例題105 素因数分解に関する問題 63n 40 7 (1) (1) (2) 解答 (1) √Am (m は偶数)の形になれば, 根号をはずすことができるから, 指針 いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 √の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。 n (2) 14/05 = (mは自然数) とおいて, ,2 n³ 196 " 441 を考える。 JUSCONOTON 練習 ② 105 n² n , 6 196, 63n (1) (3) が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 BSC1638 COMERC V 40 これが有理数となるような最小の自然数nはn=2･5・7=70 n (2) = (m は自然数) とおくと 6 ゆえに 3 n 441 N 53 441 3².7n 2³.5 7 3a+2a+? EKOPACOTCO これが自然数となるのは, が7の倍数のときであるから, m=7k(kは自然数) とおくと n=2.3.7k ① よって用 23.33.73k³ 3².7² -= 2³.3.7k³ ONDOR 3220520 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときである から, ① に k=1 を代入して n=42 n 10 n=2.3m n² 22.32m² 32m² \2 196 (3m)² ² = 2272 500 77n = 1 【検討 素因数分解の一意性 素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 p.468 基本事項 ③ 3 7n 2 V 2.5 18 nº が自然数となる条件 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 √54000nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 3 2 n° 45 00000 000 UT 合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 したがって、整数の問題では、2通りに素因数分解できれば,指数部分の比較によって方程式を 解き進めることができる。 問題 3"15"=405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 解答 3.15=3(3・5)"=3"+".5", 405=34･5 であるから 3m +1.5"=34.5 よって m=3, n=1 指数部分を比較してm+n=4,n=1 |素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=3².7 63=327,40=23.5 3 7 2 V 2-5 ・×2･5・7 =12/23.7=12/12 (有理数) となる。 HO より, kが最小のとき, nも最小となる。 1645500 03-31801- がすべて自然数となるような最小の自然数n を求めよ。 (p.484 EX74.75

数3 微分法 (2)について画像のやり方で答えが出なくて解答教えて欲しいです⁝( ;ᾥ; )⁝

〔IV〕 次の問いに答えよ。 ただし logは自然対数であり, eはその底である。 (1) f(x)=x-1-log x (x>0) とする。 x キ1のときf(x>0を示せ。 (2) 2つの実数s, t ( 0 <s <t) に対して, 座標平面上の2つの曲線C1: y = esx および C2 : y = ex を考える。 ある直線lが2つの曲線 C1, C2 とそれぞれ点 (a, esa), (B, eff) で接するとする。 (a) as βをs と tを用いて表せ。 (b) α > 0 >βを示せ。 (c) 曲線 C1, C2 と 直線l で囲まれた部分の面積をSとおく。 s =1のとき log t t lim S を求めよ。 ただし, 必要があれば lim ²X + Be²²² getB P-a etp esa B-a =0を用いて良い。

数3 微分法 (2)について画像のやり方で答えが出なくて解答教えて欲しいです⁝( ;ᾥ; )⁝

〔IV〕 次の問いに答えよ。 ただし logは自然対数であり, eはその底である。 (1) f(x)=x-1-log x (x>0) とする。 x キ1のときf(x>0を示せ。 (2) 2つの実数s, t ( 0 <s <t) に対して, 座標平面上の2つの曲線C1: y = esx および C2 : y = ex を考える。 ある直線lが2つの曲線 C1, C2 とそれぞれ点 (a, esa), (B, eff) で接するとする。 (a) as βをs と tを用いて表せ。 (b) α > 0 >βを示せ。 (c) 曲線 C1, C2 と 直線l で囲まれた部分の面積をSとおく。 s =1のとき log t t lim S を求めよ。 ただし, 必要があれば lim ²X + Be²²² getB P-a etp esa B-a =0を用いて良い。

69.1.2 記述に問題ないですか？ 問題がないなら、不要な文など（あれば）教えてほしいです。

1410 基本例題 69 重心と線分の比面積比 右の図の△ABC で, 点D, Eはそれぞれ辺BC, CA の中 点である。 また, AD と BE の交点をF,線分 AF の中点を G, CG と BE の交点をHとする。 BE=9のとき (1) 線分 FH の長さを求めよ。 (2) 面積について, △EBC=[ 練習 69 解答 (1) AD, BE は△ABCの中線であるから, その交点 F は △ABC の重心である。 よって ゆえに FE= BE=1/3×9=3 1 2+1 また, CとFを結ぶと, CG, FEは の中線であるか AFC ら、その交点Hは△AFC の重心である。 2 2+1 よって, FH: HE=2:1から FH= 口 (2) △FBC: △FBD=BC: BD =2:1 よって △FBC=2△FBD また △EBC: △FBC=EB: FB=3:2 ゆえに △EBC= BF:FE =2:1 | △FBD である。 指針 (1)点F は △ABCの中線 AD, BE の交点であるから,点Fは△ABCの重心 そこで,三角形の重心は各中線を2:1に内分するという性質を利用し,線分 の長さを求める。次に, 補助線CFを引き, AFC で同様に考察する。 3 2 (2)△EBCと△FBC, AFBCと△FBD に分けると,それぞれ高さは共通である。 よって、 面積比は底辺の長さの比に等しいことを利用する。 -------- まず, △FBC を △FBD で表し,それを利用して △EBC を △FBD で表す。 880064 CHART 三角形の面積比 等高なら底辺の比等底なら高さの比 AFBC p.407 基本事項 ④ =1/3×2. X2AFBD=3AFBD B ×FE= =1/3×3=2 A F D h h E 右の図のように,平行四辺形 ABCD の対角線の交点を 0, 辺BCの中点をMとし, AMとBDの交点を P 線分 OD の中点をQ とする。 (1) 線分PQの長さは,線分BDの長さの何倍か。 (2) △ABP の面積が6cm²のとき m. m 00000 B B かくれた重心を見つけ出す /G F D Pl A A H M 高さは図のんで共通。 ∴ 面積比=BC : BD C 高さは図のん で共通。 面積比=EB:FB 注意: は 「ゆえに」を表す 記号である。 0 Sut ) 指 C △定 定 AI よゆよ ま 944