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基本例題 65 3次方程式が2重解をもつ条件
00000
3次方程式x+(a−2)x²-44=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定
めよ。
類 東北学院大]
基本 63
指針 方程式 (x-3)^(x+2)=0の解x=3をこの方程式の2重解という。また,
方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2をこの方程式の3重解という。
まず, 方程式の左辺を因数分解して,(1次式) × (2次式) = 0 の形に直す。
方程式が (x-a)(x2+px+q)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は
[1] x2+px+q=0が重解をもち,その重解はxキα
[2] x2+px+q= 0 が α と α以外の解をもつ。
2重解はx=α
であるが,一方の条件を見落とすことがあるので、注意が必要である。
なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキα である (x =α が 3重解で
はない)ことを必ず確認するように。
解答
与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると
ENG
(x2-4)a+x-2x²=0
(x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0
(x-2){x2+(x+2)a}=0
(x-2)(x2+ax+2a) = 0
=(-|
よって
x-2=0 または x2+ax+2a=03=
この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場
合である。
[1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ。
a
判別式をDとすると
D = 0 かつ
2.1
D=α²-4・1・2a=a(a−8)であり, D=0 とすると α=0,8
ここで,
a = 0, 8はαキー4 を満たす。
[2] x2+ax+2a=0の解の1つが2で,他の解が2でない。
2が解であるための条件は
22+α・2+2a=0
これを解いて
a=-1
このとき, 方程式は
したがって
ゆえに, x=2は2重解である。
以上から
α = -1, 0,8
a≠2から
2.1
αキー4
≠2
(x-2)(x2-x-2)=0
(x-2)(x+1)=0
3次方程式x+(a+1)x²-a=0
2
8+6
次数が最低のαについて
整理する。 また
P(x)=x3+(a-2)x²-4a
とするとP(2)=0
よって, P(x) は x-2を因
数にもつ。
これを利用して因数分解し
てもよい。
2次方程式
Ax2+Bx+C=0 の重解は
x=-
(1-3
B
2A
[2] 他の解が2でない,とい
う条件を次のように考えても
い｡
他の解をβとすると解と
係数の関係から 2β=2a
β=2 から a=2
① について
105
2章
11
高次方程式
