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00000
(1) 2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線lに点C(2,3,3) から下ろ
した垂線の足Hの座標を求めよ。
(2) 2点A(-1, 2,3), B(0, 1, 2) を通る直線をl とする。 点Pは直線l上を
8/7 (1)×(2)
基本 例題 62
垂線の足, 2直線上の2点間の距離
動き, 点Qはy軸上を動くものとする。 このとき, 2点P, Q間の距離の最小
値と,そのときの2点P, Q の座標を求めよ。
GAMAL
指針▷点□は直線AB上⇔A□=kABとなる実数んがある。
解答
(1) 点H は直線AB上にあるから, AH =kAB となる実数 k
がある。
よって
(1) AH=kAB(kは実数) から CHを成分で表し, ABCH を
利用する。
注意点 C から直線lに下ろした垂線の足とは,下ろした垂線
と直線lとの交点のこと。
(2) Q(0, y,0)として、AP=kABからPQを成分で表す。
CH=CA+AH
=CA+kAB
=(-5, -4,-2)+k(2,1,-1)
=(2k-5, k-4, -k-2)
ABCH より AB・CH = 0 であるから
よって
2(2k-5)+(k-4)-(-k-2)=0
ゆえに k=2
このとき OH OC+CH
=(1,1,-1)
したがって, Hの座標は (1,1,-1)
(2) 点Pは直線AB上の点であるから, AP=kABとなる実数
んがある｡
Q(0, y, 0) とすると
PQ=AQ-AP
[ (1) 京都大 (2)類九州大]
基本60
=AQ-kAB
=(1, y-2, -3)-k(1, -1, -1)
=(1-k, y-2+k, -3+k)
|PQ|²=(1-k)²+(y−2+k)² + (−3+k)²
=(y-2+k^+2k²-8k+10
= (y-2+k)²+2(k-2)² +2
A
ZA
Bo
P
ZA
B
C
B.
H
y
●C
H
ge
x
Al
10-Q-y
(y-2+k)" はそのままで、
(1-k)^(-3+k) を展開
して整理する。
IPQ
y=
IPC
と
ゆ
距
[補足]
