黄色線のところが、どうしてそうなるのか分からないです。

-58 重要 例題 62 位置ベクトルと内積,なす角 00000 1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=b, AC=c, AD = d とする。 |辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし, 線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 と する。 (1) AN, AG, BGをそれぞれも,こで表せ。 (2) 「GA,GA・GBをそれぞれa を用いて表せ。 (3) cose の値を求めよ。 [類 熊本大〕 例 基本例 (1) 四面 をt: KLN (2) 座 一直 基本 53 指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。 (3) GA-GB=|GA||GB|cos0 ① (2)|GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG (1) の結果を利用して計算。 ここで,ABN は ANBN の二等辺三 角形であることに注目すると |GA|=|GB| よって、 ① は GA・GB=|GA|cos0 となるから,(2)の結果が利用できる。 指針 (1) AN = 1½ (c+d) 解答 AG = 1/1/2 =1/12(AM+AN)=1/21/12/6+/12/2(+2)} = 1 BG=AG-AB=1(-36+c+d) (2) 16|GA|=|4AG²=(b+c+d)·(b+c+d) =161²+|cl²+làl²+2(b•c+c•à±à·b) =3a²+2×3acos60°=6a² 解答 SI M I 16GA GB=4AG.4BĠ=(b+c+d)·(−3b+c+d) よって =−3||²+|cl²+là-26-c-26 d+2c d == =-a²-2a² cos 60°=-2a² |GA|=- | GA |² = ³ ³² a², =³½³ a², GA.GB=- a² 8 (3)AM=BM, AN =BN であるから B' C |||=||=||=aから b.c=c·d=d.b SI =a² cos 60° 分数の計算を避けるため、 4AG=b+c+d, 4BG=-36+c+d として計算。 A 8 √3 AB⊥MN GA・GB=|GA||GB|cos0= |GA | cose ||AN|=|BN|= -a IGA・GB= ゆえに, |GA|=|GB | であるから 8 (2)から4/21acoso 3 1 = ゆえに cos0= 3 8 8 ( 3 == +8+8 SI IGAP=202を代入

次の(2)の問題で何故青線のように言えるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

数学C 2次曲線 106 楕円の接線の応用 (1) 直線y=mx+nが楕円 C:x+ -1に接するための条件をm, n を用いて表せ. (2) C: x²+ =1の直交する2つの接線の交点の軌跡を求めよ. 解答) (1) y=ax+(Y-Xa), y=Bx + (Y-XB) 数学C 2次曲線 となり、これらが直交するとき、傾きについて、 aβ= -1 ・・・⑦ が成り立つ もし、⑥がm=pqi (p,qは実数で、g0) という虚数解をもつとすると、2解の積は、 ここでα. Bは⑥の解であるから, 解と係数の関係より, 1-X2 となるので、これと⑦から、 (島根大) -Y2+4 1-X2 =-1 -Y'+4= -1+ X' X2+Y2=5 よって、点Pの軌跡は, (p+qi)(p-qi) p²+q'>0 となるよって⑦が成り立つとき、 2解の積は 正でないので、 ⑥の2解α. βは必ず実数になる。 したがって、 ⑥の判別式を調べる必要はない x+y2=5 (ただし, xキ±1) で求めた4点 (1,2) (1,2) (12) (-1,-2)は,いずれも円x+y'=5上の点で ある. したがって, (ア)(イ)より, 求める軌跡は、 x+y2=5 √5 0 x+2=1…①, y=mx+n…② m +40 なので ③は ① ② からy を消去すると, 4x2+(mx+n)=4 ③の判別式をDとすると, 2次方程式である (m²+4)x2+2mnx+n2-4=0.③ =(mn)² - (m²+4)(n²-4)=4m² −4n²+16 楕円を題材とした有名な応用問題である. (1) は,直線の式が与えられているので、ここま でで学習したように、「2次曲線と直線の式を連立してD=0とする」 という方針でと の関係を容易に得ることができる. ①と②が接するための条件は、 21/17-1 D 4m² -4n² +16=0 -=0が成り立つことであるから, mn"+40 ...④ 解説講義) (ア) (2) 直交する2本の接線を との交点をP(X, Y) とする.. とし、 が座標軸に平行であるとき y ム, がx=1,y=2のとき,P(1,2) 4. がx= 1, y=-2のとき,P(1,2) . がx=-1, y=2のとき,P(-1, 2) ・ がx=-1, y=-2のとき,P(-1,-2) (イ)が座標軸に平行でないとき -1 0 P(X, Y) を通るCの接線を,傾きをmとして, y-Y=m(x-X) すなわち y=mx+ (Y-Xm) ⑤ とおく ⑤ が Cに接するための条件は、④の 2 12 (P(X, Y) nをXXm とすると |1 →x 0 m-(-Xm)'+4=0 m²-(Y2-2XYm+ X'm²)+4 = 0 (1-X2)m² +2XYm-Y2 + 4 = 0 6 X≠±1より, 1-X2≠0 であるから, ⑥はmについての2次方程式である。 ⑥ の実数解をm=α β とすると, 2本の接線は, ⑤より (2)では、2本の接線の交点をP(X, Y) とすると,2本の接線はどちらも点Pを通るので、 傾きをmとして、接線を ⑤ のように設定する. (1) の結果を利用すると, ⑤ が楕円Cに接 するためには、傾きが⑥を満たさなければいけないことが分かる. もし、 2次方程式 ⑥ のがm=3-2であったとすると, Pから引いた2本の接線の傾きは3と2であるか 5. 2本の接線は直交しない。一方, ⑥の解がm=3.4であったとすると、Pから引い た2本の接線の傾きは3とであるから,「(傾きの積)=-1」が成り立ち、2本の接線 は直交する. したがって、⑥の解を α, β としたときに 「αβ-1」 が成り立てばよく、解と係数の関 係を用いることで, X, Yの満たす関係を手に入れることができ, Pの軌跡が求められる。 ただし、解答の(ア)(イ)のように場合分けをする必要があり、ややレベルの高い問題である。 なお、点Pの軌跡である円x+y=5は、楕円の「準円」 と呼ばれるものである。 数学 Cの必勝ポイント 2次曲線の接線のまとめ (I) 接線の公式を使う (Ⅱ)2次曲線と直線の式を連立してD=0とする

次の画像の赤い印をつけた部分(ALとMNの交点はMNの中点)は常に成り立ちますか？ それから派生して、AB、AC上に動点P,Qがあり、線分PQがBCに平行な時、ALとの交点は常にPQの中点になりますか？ 証明で使う際には自明という訳には行かないと思ったので、、

M.N, Lは各辺の中点 M N B C

⑵の2行目これって等差数列じゃないんですか？？ 階差数列でも行けるけどこのノートに解いたみたいに等差数列としたら何がダメなんですか？ あと5行目の計算シグマのとこどうやってやるんですか？

Date (40 11/39) 31 12 MENTI) &+4732h+1) anti = han inch+1th-1 bm=hanとおくと、ba=bn 4 24 1-1-2 12 h = 1. a₁ = | 613. In = ha-1 = "\\==| 2^-1 よってMn=1 an = m = 2 両面ncnt1)で割ると an=lnとすると、Intl Antant n b = 2 = 2 + (n-1)- # antl nt1 (n-1) nenti) = 2+ mati) → an + ん n(htt) aw=2ntitl

オレンジマーカーのところがよく分かりません。 cosθ×aベクトルしたらOHではなくOAにはならないんですか？教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️՞

C1-60 (628) 第10章 平面上のク 例題C1.34円の接線, 線分の垂直二等分線のベクトル方程式・ [考え方] 解答 **** (1) 中心 CG), 半径1の円C上の点P (p) における円の接線のベクト ル方程式は (po-2-2)=r(r> 0) であることを示せ (2) OA=d, OB=b, |a|=|6|=1, db=k のとき, 線分OAの垂直 二等分線のベクトル方程式を媒介変数tとa, b,kを用いて表せ ただし,点Bは直線 OA 上にないものとする。 (1) Cの接点P を通る半径 CP に垂直である。このことを、 内積を用いて表す。 (2)BからOAへの垂線をBH とする. 線分 OAの中点M (1/2)を通り、 な直線のベクトル方程式を求める. (1) 接線上の任意の点をP(D) とすると, CPPP または PoP=0 であるから, CP・PP=0. www P Po (po) CP-P-C, PP-P-Do Po-c) P-po)=0 Po-c) {p-c)-P-c)}=0 Po-c) P-c-Po-cl²=0 po-cl=CPo=1であるから,Do-cp-c=r マクトに BH PP のとき CPLPP P=P のとき PoP=0 Column 平面上 OA, O の位置へ の形で この 斜交 交座 基本. 1と た 交 円の半径 と (2)垂直二等分線上の点Pについて (12/27) OP= とする.また, B から OA への垂線をBHとし, ∠AOB=0 とすると,|a|=1, |6=1 より, HX P k=a1=1×1×cosa=coso A(a) $>OH=(cos 0)a=ka B (b) これより BH-OH-OB-ka-b BH は, 垂直二等 垂直二等分線は,線分 OA の中点M (2) を通り。 線の方向ベクト BHに平行な直線であるから,D=12a+t(ka-b) 注)中心が原点O(0) 半径1の円上の点Po (Po) における接線のベクトル方程式は、 い とおいて得られるから、pop=r po= (x0,yo), p=(x, y) とおくと, pop = xox+yoy したがって、接線の方程式は、 xox+yoy=r2 DATA 19 - ■ (1) 円 (x-α)'+(y-b)²=r(r>0) 上の点(xo.yo における接線の方程

この問題の赤線部のところで、なぜ1.05^2≧2となるのか分かりません💦どなたか教えて欲しいです！

(36) 第1章 数 aink 例題 B1.14 複利計算 列 **** 年利率5%で100万円を借りて, ちょうど1年後から毎年10万円ずつ 返すとき、何年後に返し終わるか. ただし,1年ごとの複利で計算し, logiol.05=0.0212, log2=0.3010 と する. 三方 元金をS円, 年利率を とすると, 元金S円のn年後の金額は, S(1+r)"....... ① www 一方,1年後から毎年α円ずつ積み立てたときの年後の金額は, at_a(1+r)+…+α(1+r)" - 2+α(1+r)"-1 wwwwwwmi www ①② となるときを考える。 (次ページ Column 参照) 100万円を年利率 5%でn年借りると、返済の総額は, 100×(1+0.05)"=100×1.05" ...① wwwwwww 単位は「円」ではなく, また,毎年の返済額10万円を、年利率 5% で積み立てた「万円」で計算してい 10+10×1.05+10×1.052+････ ときの年後の総額は, +10×1.05-1 10(1.05"-1) =200(1.05"-1) ...... ② 1.05-1 n年後に返し終わるとすると, ②① となる. 200(1.05"-1)≧100×1.05" より、 1.05"≥2 s 両辺の常用対数をとると, log101.05"≧logi02 したがって, nlogiol.05≧10g102 log102=0.3010, logo1.05=0.0212 より 0.0212n≧0.3010 0.3010 n 0.0212 =14.198･･ よって,n≧15 となり, 15年後に返し終わる. る. 返済額 10万円にも年 利率5% を掛けていく. 初項10,公比 1.05 の 等比数列の初項から 第n項までの和 常用対数 log101.05" =logiol.05 自然数 元金 年利率0% n 年後 複利計算でα(1+0.01×p )" 複利計算のように桁数が大きくなる計算では,解答のように万単位で計算すると ただし、このとき すべての金額の単位を万単位にすることを忘れない 1000000 (円) →100 (万円), 100000(円)→10(万円) ト

領域の問題について質問です。 写真の3番の問題について、解説に書かれてあるように、どうして②の式が一致しないのはy=2と書いてあるんですか？？ 確かに、y=2と②の式は一致しないのはわかるんですが、それがとうして解答に書いてあるのが、 y=1とかy=3とかの、2以外の数字... 続きを読む

基礎問 47 軌跡(V) mを実数とする. xy 平面上の2直線 mx-y=0.1, について、 次の問いに答えよ. x+my-2m-2=0 ...... ② V(1) ①,②はmの値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る。 A, B の座標を求めよ. (2) ①,②は直交することを示せ. ✓ (3) ①②の交点の軌跡を求めよ. (1)「mの値にかかわらず」とあるので,「mについて整理」して、 mについての恒等式と考えます。 ( 37 (2) ② が 「y=」 の形にできません. (36) ことはないので(注), 点 (0, 2)は含まれない。 ⇒ y=2という、xのない形 にはできない よって, 求める軌跡は 円 (x-1)2+(y-122 から, 点 (02)を除いたもの 注 一般に,y=mx+n型直線は,軸と平行な直線は表せません。 それは,yの頭に文字がないので、mnにどんな数値を代入しても 参考 77 必ず残って、x=kの形にできないからです。逆に,の頭には文 字がついているので,m=0 を代入すれば,y=n という形にでき, 軸に平行な直線を表すことができます。 45 の要領で①,②の交点を求めてみると x=- 2(1+m) 1+m², 2m(1+m) y= 1+ m² となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つけ こともタイヘンです. もしも誘導がなければ次のような解答ができます。 れが普通の解答です。 「ません。 精講 (3) ①②の交点の座標を求めて 45 のマネをするとかなり大変です したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき, 45 の x=0 のとき, ①よりm=y I xで割りたいの YA Ⅲを忘れてはいけません。 ②に代入して+12y -2=0 x=0、x=0 で場合分け I I 解答 :.x2+y2-2y-2x=0 (x-1)2+(y-1)²=2 それぞれの (1) m の値にかかわらず mx-y=0が成りたつとき,r=y=0 次に, x=0 のとき,①より,y=0 0 定会を .. A(0, 0) これを②に代入すると,m=-1 となり実数が存在するので, 求める!!! ②より (y-2)m+(x-2)=0 だから <mについて整理 ∴B(2,2) (2) m・1+(-1)m=0 だから, 36 点 (0, 0) は適する. 以上のことより, ①,②の交点の軌跡は円 (x-1)^2+(y-1)2=2か (02) を除いたもの. ①,②は直交する. ポイント (3)(1),(2)より, ① ②の交点をPとすると ① 1 ② y4 定点を通る2直線が直交しているとき,その交点 ある円周上にある. その際, 除外点に注意する より, ∠APB=90° 2- B よって, 円周角と中心角の関係よりPは2点A, Bを直径の両端とする円周上にある. この円の中 心は ABの中点で (11) 演習問題 47 0 A/ 23 また, AB=2√2 より 半径は2 よって, (x-1)2+(y-1)²=2 ここで,①はy軸と一致することはなく, ②は直線 y=2と一致する yに数ないので消えない tを実数とする. xy 平面上の2直線 l : tr-y=t, m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ. (1) tの値にかかわらず, 1, mはそれぞれ, 定点A, B A,Bの座標を求めよ. (2), mの交点Pの軌跡を求めよ. ⇒メロというりない形にはできない

この問題の【2⠀】なんですが 問題文でSn＝∑のシグマの上はnなのに S2mとしているところの∑の上はmのままでいいんですか？どうして2mにならないんですか？ 教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️՞

000 基本事項目 列 2列 例題 28S2m, S2m-1 に分けて和を求める 451 新課程 00000 式。 一般項がan=(-1)*n2で与えられる数列{az} に対して, Sn=ak とする。 (1) aex-1+a2k (k=1, 2, 3, ......) をんを用いて表せ。 |2) S= (n=1, 2, 3, ......) と表される。 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから, 和は簡単に求められない。 次のように項を2つずつ区切ってみると Sn=(12−22)+(32-42)+(52−62)+... 20初項-5,公室の =bi =b₂ =bs -11 上のように数列{bm}を定めると, bk=a2k-1+a2k (kは自然数) である。 よって、 を自然数とすると が偶数、すなわちn=2mのときはSubasa)として求め 9種々の数列 項を, て書く い。 公比3, 比数列 比 られる。 1 [2] nが奇数, すなわち n=2m-1のときは, Sm=S+α より Szm-1=S2m-azm であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) a2k-17 +α2k=(-1)2k(2k-1)+(-1)2k+1(2k)2 =(2k-1)^-(2k)2=1-4kan=2mのとき 12mmは自然数) のとき 〜 m m Sm=2(a2k-1+a2k=Σ(1-4k) k=1 k=1 (1)で求めたのが =m-4123mm+1)=-2m-m m= であるからに1を代入する n 2 n 1 == -n(n+1) Sn=-2(22)² - 22 [2]n=2m-1(mは自然数)のとき a2m=(-1) 2m+1/ 1(2m)2=-4m²であるから (-1) =1, (−1)=-1 ={(2k-1)+2k} ×{(2k-1)-2k} 使える (S2m= (a1+α2) S2m-1=S2μazm=2m²-m+4m²=2m²-m +(a3+αs)+....... + ( azm-1+α2m) 偶数のだけをだしたのではなく どこか偶数の項まで足した Sm=2m²-mに m=1/27 を代入して,n 4 n+1 Samotototototo2m個目を引く であるから S2m-1=ototototo 2 S.=2(n+1)+1=(n+ (n+1){(n+1)-1} m= の式に直す。 Sam Sam-1+azm を利用する。 Sam=(122)+34256) Sam-1 a2m S2m-1=2m²-mn2m 式に直す。 (*) [1], [2] Sm の式は =n(n+1) S=(-1)nt -n(n+1) 2 奇数が入ると(1) [1].[2] から (*) 2-11)+(-1) + 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。 分けた 一般項がα=(-1)n(n+2) で与えられる数列{az} に対して, 初項から第n項ま 28 での 編〉 解答

(3)のコ、サがいまいち分からないです。 もう少し詳しい解説をお願いします。

78 §7 図形の性質 57 図形の性質 (2) 花子さんは,について考えている。 AP 79 *51 [10分】 太郎さんと花子さんのクラスで, 先生から次の問題が出題された。 花子さんの解法 点M, Nはそれぞれ辺 AB, BC の中点であるから, MN= 力 AC オを用いると 問題 △ABCにおいて, AB: AC=2:3 とする。 辺 AB, BCの中点をそれぞれ MP= キ AB P,Qとする。このとき, と M, Nとし, ∠BACの二等分線が線分MN, 辺BC と交わる点をそれぞれ NQ. PQ である。 よって PN ーの値を求めよ。 AP ク PM であるから PQ ケ AP (1) 太郎さんは, NQ. BQ について考えている である。 太郎さんの解法 オの解答群 辺BCの長さをα とする。 点Nは辺BCの中点であるから BN= ア a ⑩ 円周角の定理 ① 三垂線の定理 ②中点連結定理 である。 また, 線分AQ は∠BACの二等分線であるから ③中線定理 ④方べきの定理 BQ= イ a である。 よって カ ~ ケ NQ= ウ a となるので NQ I BQ である。 L 12 15 1325 ②号/ ③ 1/1 6 1/1/13 ⑦ ⑧ 23110 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ①/1 143 10 ⑥ 10 34700 10 ア ~ 1215 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。 ) ①1/ 1325 ⑦ 23 110 ⑧ 34710 14310 (次ページに続く。) (3) 四角形 BQPMの面積は, 四角形 APNC の面積の コ 一倍である。 サ 図形の性質

数Aのこの問題の(2)の解説でMB = MD = ルート3 ってしてて、多分三平方の定理で求めてて、 でもどうして角AMDと角AMBが90度になるのかわからないので教えてほしいです。 あと、 (3)を立方体の体積から、正四面体と立方体の間にある三角錐4個分をひいて求める方法... 続きを読む

演習問題 64 1辺の長さが2の正四面体は,図のよう に立方体に含まれる. (1) この立方体の1辺の長さを求めよ. × D (2) ACの中点をM, BDの中点をNと するとき.MN の長さを求めよ.X ? (3) 四面体 ABCD の体積を求めよ. X B A