矢印で示した部分の式変形の解説をお願いしたいです🙏

例題 323 数学的帰納法と合同式 整数 an=19"+(-1)n-1.24n-3 (n=1,2,3, ..……) のすべてを割り切る 素数を求めよ. (東京工業大) 考え方 自然数nに関する証明は数学的帰納法を用いる. まずは n=1, 2 で具体的に調べてみる. (別解) の合同式を使うとよりすっきりした解答になる. [合同式] 整数a,bをmで割ったときの余りが等しいとき, (つまり, a-bがで り切れるとき,) aとbはmを法として合同であるといい, a=b (mod m) と書く. "Paly 100-1=10€/sts Impo 解答| n=1のとき, α=19'+(-1)1-1.24・1-3=19+2=21=7×3 a1, d2 の具体例で,求 n=2のとき, az=192+(-1)2-1.24･2-3=192-25 素数を特定する. これより, a1,a2 を割り切る素数は7だけである. よって, =329=7×478=6+0= す すべての an7で割り切れること を数学的帰納法で示す. (I) n=1のとき, α=21=7×3より (*)は成り立つ とおける.n=k+1のとき, $30 A=# >TH . 9 (AZA) ..... ...(*) (II)n=kのとき, αkが7で割り切れると仮定すると, an=19k+(-1)-1.2437p (pは整数) ak+1=19k+1+(-1)(k+1)-1.24(k+1)-3 =19.7p-(-1)^-1・24k-3.35 =7{19p-(-1)^-1.24k-3.5} **** =19{7p-(-1)-1.24k-3}+(-1)k.24k+1- |19=7p-(-1) k-1.24k. =19.7p-(-1)-1.24k-3(19−(-1)・24} 19-(-1)・2=19 +16 (1), ()=2" (mod 7) より, y (0-)(-A)*$ ► =(−2)² + (−1)n-¹.2″ (1+A£)$=0) =(-1)"•2"-(-1) 2 YSOH +8 +3 SATIKUS ak が7で割り切れる ⇔ an は 7の倍数 これより,n=k+1 のときも(*)は成り立つ。 (I), (II)より, すべての自然数nに対して(*)は成り立つ ので,求める素数は7である. -ore= (別解) 19"=(21-2)=(-2)" (mod 7) A)AS (I+AS) (21-2) nCo(-2)" 24n-3=2".23n-3=2"•(23)"-1=2"(7+1)^-1(S) AS) AS =0 (mod 7) よって, an は 7の倍数であり, a1,a2 を割り切る 素数は7だけであるから, 求める素数は7である. =35 (D+C1・21・(-2)"-1+…. (+2Cn_121"-1.(-2) an=19"+(-1)^-1.247-3L) (IS) A+C,21" 次の式 mmmm 7の倍数 れている

Sin cos tan の問題なのですが、(2)､(3)の問題は1辺だけ長さが書かれていなくてそれを求めるやり方が分からないのでどなたか教えて欲しいです🙏🏻 なぜ(2)は√ の中が＋なのか、(3)は－なのか教えて下さると嬉しいです🙇‍♀️

169 (1) sin = = AB cos0= tan0 = BC 8 10 AC 6 AB 10 よって sin O = Cos 0 = tan 0 = よって sin0 = = cose = 0 BC 8 4 AC 6 3 tan0 = = (2) AB=√√2²+(√5)² =√√√9-388 LOX00S- EST.AE= tom k BC AC BC AB = = - = BC √5 = AB 3 AC BC AC 382 = 40 07/00 07/A AB3'xA=3A √500.der= 2*/ (3) AC=√√6²-(4√2)² =√√4=2SATI 4√/2_2√/200 = OF 5'10200 = AC AB 6 10205 FV 6 2_18 3' 3 461xA=08 ROXE= 8118.5= 4√2-2√271 12+28 08 2

⑴の問題なのですが、判別式でDを4で割っているのはなぜですか？

288 ! 00000 基本例題 183 極値をもつ条件もたない条件 (1) 関数 f(x)=x+ax2+(3a-6)x+5 が極値をもつような定数aの値の 範囲を求めよ。 類 名古屋大 ] [類 千葉工大] 基本 182 (2) 関数 f(x)=2x3+kx2+kx+1 が極値をもたないような定数kの値の範 囲を求めよ。 CHART & SOLUTION (1) 3次関数f(x) が 極値をもつ⇔f'(a) = 0 を満たす x=α が存在し x=α の前後でf(x) の符号が変わる f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ =f'(x)=0 の判別式 D>0 ① (2) 3次関数f(x) が極値をもたないf(x)が常に増加 [または減少] ⇔f'(x) の符号が変化しない ⇔f'(x)=0が重解をもつか実数解をもたない ⇔f'(x)=0 の判別式 D≦0 ! 解答 (1) f'(x)=3x2+2ax+3a-6 f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 f'(x) の符号が 変化することである。 よって,f'(x)= 0 すなわち 3x²+2ax+3a-6=0...... ① が異なる2つの実数解をもつ。 ① の判別式をDとすると 2017 D =α²-3(3a-6)=α²-9a +18 4 D> 0 から これを解いて (a-3)(a-6)>0 a<3, 6<a Sat (1) [D>O (2) y=f'(x) / y=f(x) /

数学I 二次不等式　放物線とx軸の関係です 解き方がまったくわかりません。答えを見てもわからないので解説お願いします。

Fot 85 放物線y=x2-2ax+a+2 とx軸が次の範囲において異な 。 る 2点で交わるとき,定数aの値の範囲を求めよ (1) x>1 (2) 1点は x<1, 他の1点は x>1

数3積分の問題なのですが、（4）番が分からないので教えて頂きたいです。なぜ解説2行目のx=a+tと置く発想が出てくるのでしょうか？

470 次のことが成り立つことを証明せよ。 ✪ S°ƒ(x)dx=S°ƒ(a+b_x) dx * S²₂ f(x) dx = ₁ {f(x) +ƒ(−x)}dx (2) -a * a 3 S₁f(x) dx=² {f(x) + f(a-x)}dx ƒ(a+x)=f(a−x) 0² Satf(x)dx=2Sa+ f(x) dx ** f(x) dx=25*** f(x)dx Ja-b OS 2

三角関数の式変形についての質問なんですが、黄色の線引いたとこの式変形は公式ですか？

3 = (30st + as it r tom ost≤ I am de X = 3 cost + (os ³ t 4= 3sint - Finst -3nt - 3³t 3 cost-cosit √ ( 4 ) ² + ( 4 ) ² = S² √(-sint-rint) *+ (srosit - Jas³t)" To √(ain't + (Printing t ? 0 +900 A とかく 16 √919-12(costasie - Fint that ) dt. ford 12-12 cosat de q 0 - 10² √ (0-1² (1-2²²) dt = fot√ 36 sputat de = for c/ Finse /α = fort 6 squat de 4 20 = 6 [-105 ²+ ) ² = 6 スーモ E Flatr 25 LO≤DES MY DESTER. 2° (Erthat

マーカー部分がなぜそうなるのか分かりません💦 わかる方いらっしゃいましたら教えて頂けると嬉しいです🙇‍♂️

10 15 20 例3 放物線 y=x2 と直線y=2x+k が接するとき,定数kの値を 求めよ。 解答 y=x2 と y=2x+k から y を消去すると x2=2x+k すなわち x2-2x-k=0 この2次方程式の判別式を Dとすると を入れた 8=1+1=x $30 1= x y=x2 y=2x+k OTHE 0 k D=(−2)²-4・1・(-k)=4(k+1) 放物線 y=x2 と直線y=2x+k が接するのは, D = 0 SATAPIY のときであるから k+1=0 これを解いて k=-1 1

なぜマーカー部分のようになるんですか？💦

* 9 2D [1] ∠BAC が鈍角の △ABCがあり,AB=5,CA=6である。また, △ABCの面積は 10,2 である。 (1) sin ∠BACの値を求めよ。 (2) CA の中点をMとするとき,線分BMの長さを求めよ。また, △ABM の外接円の半径を 求めよ。

二次関数のグラフの範囲です。(数ⅠA) (5)がわからないです。 回答のＹ＝a(x＋1)(x－3)にどうしてなるのかわからないです。 わかる方教えてください🙇‍♀️よろしくお願いします！

(5) 求める2次関数はy=a(x+1)(x-3) と表される。 x=-3.y=3 を代入して 01-TEIL a=1/18 謝大最う①=s P よって、y=1/12 (x+1)(x-3) y= 12/12 (+1)(x-3) 1-(8-x)=878-x= 答え SATU (y=x²-12x-3) E)UNBOAR

●数学II 三角関数の合成 (1)の途中の計算が分かりません。 sinをcosに、cosをsinにする部分が上手くできません。sinがマイナスな点に引っかかっている感じです。 途中式の解説等をよろしくお願いします。

基本 例題 154 三角関数の合成 次の式をrsin (O+α) の形に変形せよ。 ただし, r>0, π<a≦とする。 yay] 0(3)-2sin 0+3 cos 計 asin0+bcos0 の変形の手順 (右の図を参照) 座標平面上に点P(a, b) をとる。 三 ① ② 長さ OP(=√²+b2), なす角 αを定める。 [③] 1つの式にまとめる。 √3 cos 8-sine (2) sin-cos よって asin0+ bcos0=√√ a² + b² sin(0+a) (1)√3 cos 0-sin0=-sin0+√3 cos 0 P(-1, √3)とすると OP=√(−1)²+(√√3)² =2 線分 OP がx軸の正の向きとなす角は よって (2) P(1,-1) とすると 3cose-sino-sin0+√3cose =2sin (0+²) 0-cos0= √2 sin(0-7) CHART asin0+bcose の変形(合成) 点P(a,b) をとって考えるAHO sin 0- (3) P(2,3)とすると OP=√12+(-1)^=√2 π 線分 OP がx軸の正の向きとなす角は - sing= COS a= 2sin0+3cos0=√/13sin(0+α) 3 √13 ただし, sinα= 2 2 √13 9 OP=√22+3=√13 また,線分 OP がx軸の正の向きとなす角を α とすると 3 √13 cos α= - 003 nie wie JJRA 350 13 24150 LEANIN (1) p.242 基本事項 ① P(a, b) P. √3! YA 「 -1 1 SATO y 2 3 √a² +6² # Ay 0 anya √2 v3 2 10 0 1 1 U 1 √13 π 4 P 13 a a l n 22 x P x x 243 一同 +08_ αを具体的に表すことがで きない場合は、左のように 表す。 4章 27 三角関数の合成