114.3 1からpのk乗までの自然数のうち、 pの倍数の個数がpのk乗÷pで求まるのはなぜですか？？

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

bの範囲がなぜそうなるのかわかりません。教えてください。

[2] U={x|x は 18以下の自然数}を全体集合とし, ひの部分集合 A,Bを次のよ うに定める. a=2 A={4,5,7,8,11, a, 15}, B={x|x∈U, b≦x≦c}. ただし, αは 11<a<15 を満たす整数, b,c は 1≦bc≧18 を満たす整数 とする. (1) α=12,6=5,c=10 のとき, 集合AN B, および集合ANB をそれぞれ 要素を書き並べて表せ. (2) α=12 のとき, BCA となるような集合Bのうち, 要素の和が最小となる ような集合 B, 要素の和が最大となるような集合B をそれぞれ要素を書き並べ て表せ. 1106 (3) Uの部分集合Cを次のように定める. C={x|x∈U,xは18の約数}. 集合 (And) B の要素が偶数のみとなるような集合 (A∩C) B のうち, 要素の個数が最大となる a,b,cの中で, a +6 + c の値が最大となる組 (a,b,c) を求めよ. - 3- -

286と287で範囲が1つか2つになる見分け方を教えていただきたいです

範囲が一つにはるか1つにするかのぼ 2 よって、 右の図か A 28600 <2πのとき、次の不等式を満たす0の値の範囲を求めよ。 (2) cost ≦ 3 2 π <O< ₁ ² <0≤ ³ R 0<- π 3'3 Ţ (1) * sin0 < - (3) 2sin-√3≧0 (1) * sin0 > - I 2 28700 <2のとき,次の不等式を満たす0の値の範囲を求めよ。 (2)√2 cos0 +1≧ 0 π √√3 2 288" << 1 のとき, 不等式 tand ≧ /2 (4) * 2cos0+√3 <0 13 を満たす0の値の範囲を求めよ｡ B 289* 0 ≦ 0 <2πのとき, 不等式 -1≦2cos0 ≦√3 を満たす 0 の値の範囲を求めよ 2900 ≦0πのとき, 不等式 -1 <tan0 <√3 を満たす0の値の範囲を求めよ。 √√3 291* 0 ≦0<2のとき, 不等式 sin(+) = を満たすの値の範囲を求めよ。 2 2000=0<2のとき, 不等式 2cos20-5sin0-4≧0を満たす0の値の範囲 ここで したがつ 0 = 293 次の関数 (1) y 294 次の関 (1) J 295 0≤ の値 (1) 296* よ 2970

直角二等辺三角形の等辺のひとつ(？)は12cmです。残りの角度と辺の長さを全て求めない。(小数点はなし) という問題です。問題文にすら少し疑問がありますが…やり方教えてください🙇‍♂️

9. (2 pts) Given an isosceles right triangle with one leg 12 cm long. Sketch a picture of this triangle. Determine the angle measures and the remaining leg lengths (in exact values, not a decimal). Explain your work.

63. 記述に問題点等ありますか？？

る確率 機械 63 良品 械 A を当 の意 製造 3 50 ベイズの定理 重要 例題 63 袋には赤球10個,白球5個,青球3個;袋Bには赤球8個,白球4個,青球 00000 ;袋Cには赤球4個,白球3個,青球5個が入っている 1 3つの袋から1つの袋を選び, その袋から球を1個取り出したところ白球であっ それが袋Aから取り出された球である確率を求めよ。 した。 袋Aを選ぶという事象をA, 白球を取り出すという事象をWとすると, 求める確率は P(WNA) 条件付き確率Pw (A)= よって、P(W),P(A∩W)がわかればよい。まず,事象 Wを3つの排反事象 [1] A から白球を取り出す,[2] B から白球を取り出す, [3] C から白球を取り出す に分けて, P(W) を計算することから始める。 また P(A∩W)=P(A)P(W) 袋 A, B, C を選ぶという事象をそれぞれ A, B, C とし, 白球 | ⑩ 複雑な事象 を取り出すという事象をWとすると 排反な事象に分ける P(W)=P(A∩W)+P(B∩W) + P(COW) 1 1 5 3 18 よって 求める確率は =P(A)PA(W)+P(B)PB(W)+P(C)Pc(W) 1 5 + 3-2 2-3 41 +2²7 + 1/²2 - 11 12 54 4 + 1 4 3 18 検討 ベイズの定理 上の例題から、Pw (A)= AMB, A₂B, 一致し,PB (Ak)= P(W) である。・・・・・・・・・ Pw(A) = P(ANW) _ P(A)PÂ(W) _ 5 P(W) P(W) 54 . P(B) ·|· P(B) 1 10 4 27 加法定理 乗法定理 基本 62 A B C AOW BOW Cow 2 27 W 5 542 P(A)PA (W) P(A)PA(W)+P(B)PB(W)+P(C)Pc(W) 一般に, n個の事象 A1, A2, ・・・・・・, An が互いに排反であり, そのうちの1つが必ず起こるもの とする。このとき 任意の事象B に対して,次のことが成り立つ。 PB(AR)= P(Ah) PAN (B) (k=1,2,.., n) P(A)PA,(B)+P(A2)P,(B)+......+P(A)Pa,(B) | これをベイズの定理という。このことは, B=(A∩B) U(A20B) U......U (A∩B) で, A∩Bは互いに排反であることから、上の式の右辺の分母が P(B) と一 P(B∩Ak)P(A∩B) かつP(A∩B)=P(Ak) Pa, (B)から導かれる。 001 が成り立つ。 14 12 A-0004 練習 =) 45 (1 63 仕入れた比率は4:3:2であり, 製品が不良品である比率はそれぞれ3%, 4%, ある電器店が A 社, B 社 C社から同じ製品を仕入れた。 A社、B社、C社から | 5%であるという。 いま、大量にある3社の製品をよく混ぜ,その中から任意に1 [類 広島修道大] (p.395 EX46 |個抜き取って調べたところ, 不良品であった。 これがB社から仕入れたものであ る確率を求め 393 2章 9 条件付き確率 る る る る。 立つ。 である である m-1) 倍数で である 1, 2) ったと 灼数は, あるな を満 には, ①へ。 14234 n進 という。

解き方を教えてください。

〔2〕 (1) 1ラジアンは、 (2)より1を満たす自然数nはn= π チ+1 ww である。 <1< Now 180 センタ 単位円および直線y=x を座標平面上に図示すると ツ である。 √3 PA 2 ツ については,最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。 2 cosa= bod 34 12 10 気 O = 1 2 ナ である。 と変形できる。 ただし,αは 772 A y=x/ であることに注意して,点A(cos1 sin1) と A √3 x V3. ターX である。 また、三角関数の合成を用いると f(0) = ト sin (8+a) 1 x √√3 sin a 82 ヌ 7 ネ √3 0020 43 32 チ 12 0<a</ 2 01 (3) 関数 f(0)=3sin0+4cos0 (0) がある。 このとき, f(0)= テ A である。 10 1 y=x/ A を満たすものとする。 +αasO+α≦1+α の範囲で変化するから, f(8) の最小値は 43 2 11 x AND (CO) √3 2

１回解いて見たのですが合っているか分かりません。合っているか教えてください。

の2つ 10 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。 (1), (2) では0°180°とする。 (1) 2sin 0-1 (2) -3cos +1 (3) 2tan +1 (0°≤0 ≤60°) (4) √√3 tan-3 (30°≤0<60°) (¹12sing-1 °180°のとき OssinG ≤I O≤ 2 sin 4≤2 -1 ≤ 2sin@-1≤1 (2) -3cos + 1 [≦][180℃のとき -1≤COSA≤I -3≤-3cos≤3 -2 ≤ -3cos@ +1≤4 11 0°≤0≤180° 3. sin0 + cose: (1) sin cos (1) Sina+cosA= √5 (sind+cos)² = 5 Sin² @ + cos²+2sin@cose = 2 sin cos=- Sin a cosa = - 12/ (3) Ztan G+1 0°≤ A ≤ 60° ax= (4) √√3tand-3 = 0≤tand ≤5 0 ≤ 2 tan@ ≤2√3 | ≤2+and+1 ≤2√3+1 30°zQ<60°のとき ≤tan@ <√ I= √tand <3 √5 3 (2) sin³0 +cos³0 のとき、次の式の値を求めよ。 -2≤√√3-tan-3 <0 = (3) sin-cos (2) Sin³A+cos³ A = (sine +cosa) sin³A-sin@cos@ + cos²A) 1/2×(1+/)= 1155 27 Sin³A +cos³A = 115 zn (3) SinA-COSA (sina-Cos@)² = Sin²@+ cos²9-Zsind 120°80°とする。 次の不等式を満たす0の値の範囲を求めよ。 5 cose = 1-2x ( - 1²/2) = 13³3 - √13 Sine -cose- =

141.2 どこか記述に問題あったりしますか？

222 基本例題 141 三角比を含む対称式・交代式の値 √2 2 sin0+ cos0= (1) sin Ocose, sin'0+ cos' 0 解答 指針▷ (1) の sin @cos 0, sin+cos' 0 はともに, sin 0, cos 0 の対称式 (p.32, p.50 参照)。 →和sin0+cos 0 積 sin Ocos0の値を利用して, 式の値を求める。 ......... (1)(sin Acos 0)条件の等式の両辺を2乗すると, sin²0+ cos20 と sin Ocos0 が現れ る。 かくれた条件 sin ²0+ cos20=1 を利用。 >6>0 [0€K<<== /2 (1) sin0+cos0= の両辺を2乗すると 2 sin²0+2sin@cos0+cos²0=1/2 (0° 0 <180°) のとき, 次の式の値を求めよ。 (2) sino-cose, tan0- ゆえに よって また (sin'0+cos30) a²+b^²=(a+b)(a²−ab+b2)を利用。 (2) sin-cose については、 まず (sin 0- cos 0)' の値を求める。 0°<B <180° と (1) の結 果から, sin0-cos 0 の符号に注意。 = よって②から sinocos0=-- sin³0+cos³0 = (sin 0+cos 0) (sin²0-sin cos 0+ cos²0) 30 -√(1-(-1))-5√/2 (2)0°<<180° では sin0>0であるから, ① より cos0<0 ゆえに sin0-cos0 > 0 ② ①から (sin0-cos0)^=1-2sin/cos0= 12/10 -√²/²=4 tan 0- 1 sin0-cos0= 1 tan 0 = .. 1+2sinocos0= ① sin cos 0 cos o sin 8 (sin0+cos0) (sino-cos 0) sin²0-cos²0 sinocoso 00000 sinocos0 [類 広島修道大] 1 tan 0 √2 - 42.16+ (-1)=-2/3 √6 = -2√3 |基本 27,140 ab や '+b²のように, a と を入れ替えてももとの式と 同じになる式を, a bの対 称式という。 <「‥.」 は 「ゆえに」 を表す記 号である。 ◄sin³0+cos³0 = (sin0+cos0) 3sin/cos0 (sin0+cost) から求めてもよい。 - 1/ <0. sinocos0=- sin0>0であるから cos 0 < 0 sin 0 cos 0 <tan0= sin 0, cos 0 の式に直す。 求めた sin @cos 0 sin0-coseの値を利用。 を利用して,

積分の面積を求める問題なんですけど、なぜx＝yに対称であるとわかったのでしょうか。

EX 関数f(x)=ae²x (aは定数)について, 曲線 y=f(x)上の点(b, f (b)) における接線がy=xで ③ 215 あるとき,次の各問いに答えよ。 1 aとbの値を求めよ。 ② y=f(x) の逆関数 y=f'(x) と表す。 このとき, 曲線 y=f(x), y=f'(x), x軸およびy 軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。 〔宮崎大〕 HINT (2)(1) の結果を利用。 また、2曲線y=f(x), y=f'(x) は,直線y=x上の点(b, f(b)) おいて接し, 直線y=xに関して対称である。 (1) f'(x)=2ae2x であるから, 曲線 y=f(x) 上の点(b, f(b)) y-ae²6=2ae2b (x-b) における接線の方程式は すなわち y=2ae²6x+α(1-26)e26 これがy=x と一致するための条件は 2ae26=1 ①を②に代入して ...... 1, a(1-2b)e2b =0 1-26=0 =1/12/①に代入して 2ae=1 ゆえに よって b= [1=x 2 OVER a= ty-f(b)=f'(b)(x-b) (N(S) ←傾きとy切片が一致。 ←(1-26)=0) 1 -1} |- ( ² f1 ) ¢ = (x)\\ 2e

(2)ってこの解き方で大丈夫ですか？

(3) UR ag 2t x4 =2 k>0とし、0≦x< において、曲線 π 2 16 を考える. 2 C:y=cose go2t = nakayasinx cosx, C:y=ksinxcosx C と C およびy軸で囲まれた部分の面積をSとし, C と C2 およびy軸で囲まれ 2COSX た部分の面積をTとする. (1) C と C の共有点のx座標を求めよ。 また, S.を求めよ. (1) Cと 6 (②2) CとC2の共有点のx座標をaとするとき, tan を k を用いて表せ。 S:3となるとうなりの値の範囲を求めよ。 2№