(1) 関数 f(x) = x° の区間 [1, 4] に対して, 平均値の定理を満たす定数
cの値を求めよ。
1
(x>0)において, a, hを正の定数とするとき
(2) 関数 f(x) =
x
平均値の定理
f(a+h)= f(a)+hf'(a+0h), 0<0<1
を満たす0の値を求めよ。
定理の利用 平均値の定理
f(x) が2つの条件の, ①を満たすことを確認する。
閉区間(a, b]で連続
開区間 (a, 6)で微分可能
関数S(x) が
Y y=S(x)/
章
f(6) -f(a)
b-a
=f"(c), a<cくb
を満たす実数cが存在する。
し(1の傾き) = (1,の傾き) となるcが、 aとbの間に存在
6
Action》平均値の定理は, 連続微分可能な区間で考えることに注意せよ
回 (1) f(x) = x° は区間 [1, 4] で連続であり, 区間 (1, 4) で
微分可能であるから, 平均値の定理により
6 x
=f(c)…
1<c<4
4-1
を満たすcが存在する。
f'(x) = 3x° であるから,① より
c° =7 であり,1<c<4 より
(2) a>0, h>0 であるから, 関数 f(x) は区間[a, a+h]
で連続,区間(a, a+h)で微分可能である。
64-1
0
21 = 3c°
= 3c
3
42く、7<3
f(x)の定義城は x>0
c=
0
また,f'(x) =
1
であるから,(*)より
11
1
1
0<0<1
S(a+Oh)-
(a+ Oh)°
を満たす0が存在する。② を整理すると
a+h
(a+ h)
a
y=
h
h
より
a(a+h)
(a+ Oh)? = a(a+h)
(a+ Oh)°
a+0h>0 であるから
a+Oh = Va(a+ん)
-a+/d+ah
0=
ある
h>0 より(*)を満たす0は
0
a a+0h a+h x
h
167 (1) 関数 f(x) = /x の区間 [1, 9] に対して, 平均値の定理を満たす定数c
の値を求めよ。
h=0
(2) 関数 f(x) = x° において, 例題167 の(*)を満たす0について, lim@
の値を求めよ。ただし, aキ0, h>0 とする。
311
→ p.315 問題167
5年3接線と法線,平均値の定理
