nが急に下に来た理由がわからないので教えて頂きたいです

5 第1章 数列 例題次のような等比数列の初項から第n項までの和 Sn を求めよ。 7 (1) 初項 3, 公比2 3(2n-1) 解答 (1) S= 2-1 (2) Sn = = 3(2"-1) 11- (1/1)} 2 1-1/2 =2(1-0) (2)初項1,公比1/12/2 n 2 (1-1/2) Sn Sn = a(n-1) r-1 = a(1-") 1-r

(2)の(イ)について。 a2mの一般項が-m/m+1になるのがわかりません

次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。 3 (1)(1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-192) + ... (2) 3 +・ 1 (2)1 2 2 3 + 4 2 2 3 3 +・ 4 思考プロセス « ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ 例題 33 (1)(2)では第n項が異なる。 (1) (一) (1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-1)+ a₁ 場合に分ける a2 3 (ア) nが奇数のとき 3 (2)1 1 1 + 3 4 2 2 2 2 + 3 3 3 ・+ 4 a3 ai a2 a3 as as a6 一致すれば収束, 一致しなければ発散 1 1 2 Sn=1- n→∞ 2 3 (イ) nが偶数のとき Sn=1-( )-( (ア)の利用 解 (1) 初項から第n項 (n≧2) までの和をSとすると =(1/2) 2 Sn Point S.-(1-++...+() n n n n =1-- n+1 n+1 よって lim Sn = lim = = 0 n→∞ n→∞ 1 n→∞n+1 したがって,この無限級数は収束し、 その和は 0 (2)初項から第n項までの和を S とすると (ア)n=2m-1 (mは正の整数)のとき 1 1 Sn=S2m-1=1- |- + 2 2 m-1 m- + 1 m m 2 第n項は, nが偶数 (2m) のときと奇数 (2m-1) の ときで異なることに注意 する。 n→∞のとき→∞ であるから limS2m-1=1 m→∞ (イ) n=2m のとき,第2項をam とすると Sn=S2m=S2m-1+azm m = 1+ m+. m+1 limS2m=0 m→∞ よって (ア)(イ)より,この無限級数は発散する。 (1) lim S2m-1≠lim Sm より, m-x m-0 {S} の極限は存在しない。 Point [無

数学の確率から漸化式を求める問題について質問です。 写真の2番の問題が分かりません。 解説が写真2枚目なのですが、なんでこんな解き方してるのか考えましたが全然分かりませんでした。どうして奇数まで考えてるのかもさっぱりです、、、 教えてください🙏 お願いします🙇‍♀️

基礎問 136 確率と漸化式 袋の中に 1 2 3 4 5 の数字のかかれたカードが1枚ずつ入っ ている.この袋の中から, 1枚カードを取り出し, それにかかれ た数字を記録し, もとにもどすという操作をくり返す。 1回目か らn回目までに記録された数字の総和をSとし,Snが偶数であ P2 る確率をn とおく. このとき, 次の問いに答えよ. V(1) 1,2を求めよ. (2) n+1をnで表せ V(3) n をnで表せ. +20 =+= 精講 (1) 確率の問題ではこのような設問がよく見受けられますが、これ は単に点数をあげるための設問ではありません.これを通して問 題のイメージをつかみ, 一般的な状態((2)) の考える方針をつかんでほ しいという意味があります. PnPhtls の (2)確率の問題で漸化式を作るとき,まず, 確率記号の右下の文字 (添字)に着 目します.ここでは,n+1の関係式を作るので, n回終了時の状況を スタートにして,あと1回の操作でどのようなことが起これば、目的の事態 が起こるか考えます。このとき,図で考えると式が立てやすくなります。 3) 漸化式の処理ができれば, 何の問題もありません。 解 答

(1)の解説の4行目が分かりません。 なぜ角OQPが30°と分かるんですか？

例題 313 図形と漸 半径1の円 G に内接する正三角形を △PQR と し,△PQR の内接円を C2 とする。 △PQR と R2とし, △P2Q2R2 円 C2 の接点をP2, 2, Q2 R2 とし, AP2Q2R』の内接 円を C3 とする。 この操作を繰り返してできるn個 目の円をCとする。 (1) 円 C の半径を求めよ。 GP R2 Q2 P2 R₁ けてQ (2)円 C の面積を Sn とするとき, S = S1+S2+... +Snを求めよ。 P たけお Cn 規則性を見つける n個目と (n+1) 個目の図形をかき, それらの関係から Cati Rn+1/ r n 漸化式をつくる。 rn+1 一辺の比や相似比に着目する。 (2)Sn=πrnより, {S}がどのような数列か考える。 (1) 円の半径rn と円 Cn+1 の半径 n+1 の関係式をつくる。 Qz Pn+1 / R 思考プロセス 解(1) この操作でできるn個目の正三角形を △PQnRn とす△PzQnRz はすべて正三 る。 右の図において, 0は正三 角形 PnQnRnの外心であるから ∠OQP+1 = 30° ∠OPn+1Qn = 90° Action » 繰り返し行う操作は, n番目と (n+1) 番目の関係式をつくれ (8) D 角形であることに注意す る。 Cn P, () XC+1 60° Rn+1 Q+1 ① ゆえに OQn=20P n+1 30° rn+1 よって rn=2rn+1 Qn Pati すなわち rn+1 = 1 2 Qn 30°Pn+1 Rn OQ OP+1 = 2:1 rn

赤字の式より下を教えて欲しいです！なぜK＝１、2、を代入するのでしょうかよくわかりません

382 基本 例題 21 分数の数列の和 1 1 1 数列 , 2.5 5.8' 8.11' ・の初項から第n項までの和を求めよ。 基 1 1 を計算すると 3k-1 3k+2 よって CHART & SOLUTION 分数の数列の和部分分数に分けて途中を消す 分母に着目すると,第k項の分母は (3k-1)(3k+2) このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。 3 (3k-1)(3k+2) (3k-1) (3k+2)-3(3k-1-3k+2) この式に k=1,2, ....... を代入して辺々を加えると, 隣り合う項が消える。 答 この数列の第ん項は (3k-1)(3k+2) (3k-1)(3k+2) Linf. 次の式の変形はよ 利用される。 1 (3k+2)-(3k-1)-n)S)-(n*a+b k 3 (3k-1)(3k+2)NS) (S 1 (k+a)(k+b) = 33k-13k+2, 031-= == b-a (k+akt 1 (k+b)-(k この式に k=1,2, 2.5 5.8 nを代入して,辺々を加えると 1 1 1 1 T 1 a- b-aktakth + + + 8・11 (3n-1)(3n+2) 部分分数に分ける。 1/1 1 1/1 1/1 + + 32 5 (1) 35 8 38 11 = 11/11/13)+(1/1)+(1/14) +3 1_1_1 + 3\3n-1 8 8 1 3n+2 sn'+2)} 3n-1 3n+2) 途中の 1 1 5'8'11' 1/1 32 1 3n+2-2 3n+2, 3 2(3n+2) n 2(3n+2) (0+2)+ 3n-1 ・が消える。 -- n=1,2を代入して しておくとよい。

(2)が解答を見てもよく分からないので教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙏

初項から第n項までの和 S, が次の関係式を満たすような数列{an} の一般項an を求 めよ。 (1)Sn=2n2+n (2) Sh=5"-1 (3) S=3n2-2n+1

赤線をひいた③④なのですが、これの違いがわからないです。何か図形的な意味で表すものの違いがあるのでしょうか。

条件は, 20. (20 AP=kAB (kは実数) ① と簡潔な形で表されるが,次の②~⑤ [直線のベクトル方程式など] のように,別の形で表 すこともできる。つまり,①と②~⑤はすべて同じ意味である。 したがって, 直線のベク トル方程式は表し方が何通りもあるが,必要以上に難しく考えなくてよい。 迷ったら ①か ら考えるなど,自分なりの解決方法を身につけておこう。 k,m,n, s, tは実数とする。 ② OP=OA+kAB [点Aを通り,方向ベクトルがABである直線のベクトル方程式] ③ OP= (1-t)OA+tOB 「2点A, B を通る直線のベクトル方程式 ] ④ OP=sOA+t0B, s+t=1 [2点A, B を通る直線のベクトル方程式] の 5 Sn ⑤ op= nOA+mOB 4:08 (1) m+n [線分AB における分点の位置ベクトル] 10+80g AP-AR ( OD LAD ベクトル方程式

解答の中の一つ目の赤字の部分のように、n＝2mと置く時、なぜシグマの上には2mではなくてmを置くのでしょうか？？

基本事項 数列 例列 同じ項を, えて書く 例題 重要 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める 一般項が am= (1) n+1 M... 00000 -1)n2で与えられる数列{a} に対して, Sn=ak とする。 RQxdx=1.2.3.)をkを用いて表せ。 [(2) Sm= 指針 | (n=1, 2, 3, ・・・・・・) と表される =2 k=1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから, 和は簡単に求められない。 次のように頭を2つずつ区切ってみると =bbl =bs 「上のように数列{b} を定めると, bk=ak-1+a2k (kは自然数)である。 よって、m を自然数とすると [1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSon = bi=2(ashitaw)として求め られる。 S2m-1=Szm k=1 k=1 [2]が奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam = Sam-1+α2mより S2m-azm であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように,nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める (1) a2k-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+ (−1)2k+1(2k)2 =(2k-1)-(2k)=1-4k すい。 13, 公比3, 〇等比数列 解答 (2) [1]=2m (mは自然数) のとき m k=1 =m-4.123mm+1)=-2m-m m S2m=2(a2k-1+azk=2(1-4k) k=1 n m= であるから 2 Sn=-2(2)²- 1.2 14 n 2 2n(n+1) [2]=2m-1(mは自然数)のとき azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから S2m-1=Szmazm=-2m²-m+4m²=2m-m (-1) =1, (−1)数=-1 ={(2k-1)+2k} ×{(2k-1)-2k} S2m= (a1+a2) + ( as+αs)+...... +(azm-1+azm) Sm=2m²-mに m= =1/27 を代入して.n の式に直す。 AS2mm=S2-1+a2 を利用する。 451 1章 ③種々の数列 2h Inentl は等比 n+1 m= であるから 2 S,=2(n+1)_n+1/2 (n+1)((n+1)-11 =1/21m(n+1) [1], [2] から Sam-1=2m²-m をnの 式に直す。 (*) [1], [2] のS” の式は 符号が異なるだけだから、 Sn= (−1)"+1 n(n+1). (*)のようにまとめるこ (*) 2 とができる。 一般項が=(-1)n(n+2) で与えられる数列{a} に対して, 初項から第n項ま S+1 練習

(3)について質問です。 赤線部のようにありますが、lim をつけても大小関係は変わらないのですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

I 練習問題 10 (1) k1以上の整数とするとき k+11 S** dx=- 1 k であることを示せ. (2) 1以上の整数とするとき, log (n+1)≦1+ s1+1/+1/+ +･･･+ +…+. 1 n であることを示せ. (3)無限級数が発散することを示せ. n=1n

画像にも書いたのですが、 不等号が≦になるときと、＜となるときの違いがわかりません。 初歩的な質問だと思うのですが、教えてもらえると助かります

UB 基本 例題 38 不等式で表される集合 C00000 実数全体を全体集合とし,A={x|-2≦x<6},B={x|-3≦x<5}, C={x|k-5≦x≦k+5} (kは定数) とする。 (1)次の集合を求めよ。それぞれ求め (ア) ANB (イ) AUB (2) ACCとなるkの値の範囲を求めよ。 toks (ウ) B (エ) AUB ( p.68 基本事項 CHART & SOLUTION 不等式で表された集合の問題 数直線を利用 集合の要素が不等式で表されているときは、集合の関係を数直線を利用して表すとよい。 その際、端の点を含む(≦,≧) ときは ● で ・P・ 含まない (<, > ) ときは○ で表しておくと,等号の有無がわかりやすくなる (p.55 参照)。 例えば,P={x|2≦x<5} は右の図のように表す。 2 5 71 解答 (1) 右の図から (ア) A∩B={x|-2≦x<5} (イ) AUB={x|-3≦x<6} (ウ) B={x|x<-3,5≦x} P (ｴ) AUB={x|x<-3, -2≦x} (2) ACCとなるための条件は k-52 ・B -B- ・A -3-2 56 x k-5-2 -A- (e a)=80A (1) ■文の等式を ◆補集合を考えるとき 「端の点に注意する。 の補集合は ● ●補集合はO ◆ k=1のとき x C={x|-4≦x≦6} 6 k+5 E. SN)=8(e)k=30 Cats (es) C={xl-2≤x≤8} ① 6 k+5 ...... ② が同時に成り立つことである。 ①から k≤3 共通範囲を求めて ②から 1≤k 1≤ k ≤3 であり,ともにACC ② を満たしている。 INFORMATION SA (2) において, C'={x|k-5<x<k+5} であるとき, ACCとなるための条件はk-5<-2 かつ 6≦k+5 すなわち, 1≦k<3 となる。 等号の有無に注意しよう。 lea k-5-2 A 6 k+5 この不等号はどうやって決定する? PRACTICE 38° [