30%
45
248 半径 10
円に内接する止n角形の1
ら正n角形の1辺に下ろした垂線の長さを求めよ。
発展問題
例題 36 二等辺三角形ABC の頂角Aの大きさを36°,底角Bの二等分線が辺
指針
解答
AC と交わる点をDとし, BC=2 とする。 これを用いて, sin 18°の
値を求めよ。
図で,∠BAE=18°, BE =1であるから, AB がわかると, sin 18° の値が求められる。
△ABC∽△BCD を利用する。
△ABCにおいて,∠A=36° ∠B=∠C であるから
A
第4章
図形と計量
180°-36°
∠B= ∠C=
=72°
2
よって, △BCD において
72°
∠DBC= -=36°, ∠C=72°
2
ゆえに、2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△BCD
よって
AB:BC=BC:CD
・①
E
ここで,∠DAB=∠DBA=36° より △DAB は DA=DB
の二等辺三角形であり, △ABC∽△BCD より BCD は
BC=BD の二等辺三角形である。
ゆえに DA=DB=BC=2
B
2-
C
よって, AB=x とおくと, CD=AC-AD=x-2であるから,① より
ゆえに
x:2=2: (x-2)
x2-2x-4=0
すなわち x(x-2)=4
x>0であるから x=1+√5
したがって, Aから辺BC に垂線 AEを下ろすと, ∠BAE=18° であるから
BE_1
x
5 +1
√5-1
√5-1
=
答
(√5+1)(√5-1) 4
sin18°=
AB
249 次の問いに答えよ。
(1) 例題 36 の図を利用して, cos 36° の値を求めよ。
(2) 右の図は, 1辺の長さが1の正五角形である。
(1)の結果を利用して, 対角線 BE の長さを求めよ。
B
A
C
D
E
