数学 軌跡 反転 この問題を複素数を利用して解く方法を教えてください

184 重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) の軌跡 00000 |xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の 点Qを,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。 (A) OP・OQ=4 (B) Q は, 0 に関してPと同じ側にある。 点Pが直線x=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めて、図示せよ。 〔類 大阪市大 指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。 基本110 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P, Qの関係は 点Qが半直線 OP 上にある⇔ X = tx, Y = ty となる正の実数 tが存在する このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yを x, yの式で表す。 そして、点Pに関 する条件 X=1より, x, yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。 点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。 解答 Qは直線OP 上の点であるから Q(x,y) P(X, Y) X=tx, Y=ty (tは実数) ただし、点Pは原点と異なるから t=0, (x, y)≠(0, 0) 更に, (B) から, t>0である。 x2+y2 参考事項 反転 表す ※定点を中心とする半径r (r>0) の円がある。 点を通る直 に, 0と異なる点P をとり, 半直線OP 上に点P' を OP・OP'= によって定める。 このとき,点Pに点P' を対応させることを といい,点を反転の中心という。 また、点Pが図形F上にあるとき, 点P' が描く図形F' をF 反形という。円や直線の反転に関しては,次のような性質が (1)定点 0 を通らない直線の反形は, 0を通る円にな (2) 定点を通る円の反形は, 0 を通らない直線にな (3) 定点を通らない円の反形は, 0 を通らない円に [(1)の証明] O を通らない直線を l とする。 0から lに下ろした垂線と l との交点をP。 とし, Poを反転した 点をP とする。 また l 上のP。 以外の点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 OPOP=OPOP' より, OP: OP'=OP : OP であるから、 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなり OPPOP'P よって ∠OP'P'′ = ∠OPP=90° したがって, P'は線分 OP を直径とする円を描く。 ただし, OP'>0であるから, 点0は除く。 [(2) の証明] 線分 OP。 が円の直径となるように、点Po をとり, P 反転した点をP とする。 また, Po以外の点Pを反転した点を (A)から √x2+y2√(tx)2+(ty)2=4 ゆえに t(x2+y2)=4 よって t= 4 x2+ye したがって X= 4x x2+y2. 4y Y= tを消去する。 とすると, (1) と同様にして 4x 点Pは直線x=1上を動くから =1 x2+y2 ゆえに y X=1 に X= 代入する。 4x x2+y2 を 線分OP が直径であるから よって (x-2)'+y2=4 2- したがって,求める軌跡は 中心が点 (2,0), 半径が20円。 0 12 14 x ただし, (x,y)≠(0,0)である から, 原点は除く。 -2- 図示すると、 右図のようになる。 x2+y2-4x=0 注意 本間は、反転の問題 である。 反転については, 次ページ参照。 OPPOP'P ∠OPP=90° よって,∠OP'P'=90°から、点P'は,点P を通り OPに垂 な直線上を動く。 [ [3] の証明] 右の図のように、線分 P.P が円の直径 となるように、点Po, P1 をとり, Po, P, を反転し た点をそれぞれP, P' とする。 また, Po, P, とは異なる, 0 を通る直線と円との 交点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 (1)と同様にして AOP POO PC 0 Po

数Ⅱの問題でよくわからないところがあって ①どうしてbb’なのか?aa’じゃだめなのか? ②解説読んでも全体的によくわからないです どなたかわかりやすく教えてください🙇

題 35 2点A(3, 1), B(4,5)と直線 y=2x+1 上の動点Pがある. こ のとき, AP+PB を最小にする点Pの座標を求めよ.

△ACPの最大値を求める問題でOPがなぜ2とわかるのかがわからないので教えていただきたいです。

(3) 点Pが線分ACの垂直二等分線上にあるとき, △ACP の面積は最大となる。 ここで,∠AEC=180°-15°×2=150° だから, ∠APC=30° 円周角と中心角の関係より,∠AOC=60° ゆえに、OACは正三角形である。 ACとPEの交点をQとすると,OA=AC=2より 0Q=√3 よって, ACP の面積の最大値は -x2x(2+√3)=2+√√3009 (2) 2 P E AD B 秋のと よって、 CX.C 24 X2となるのはど 2枚が 0

数1の三角比の範囲です。 解説お願いします🙏

PA=PB=PC=4,AB=6,BC=4,CA=5である三角錐 PABC の 体積Vを求めよ。

152番の問題です。重心からいまいちわかってなくてどなたか教えてください。お願いします！

が外接円と再び変わ liit & *15] AB=6,BC=5, CA=3である△ABC の内心を とする。 直線 AI と辺BCの交点をDとすると き, AI: ID を求めよ。 7154 AABC B 1520 平行四辺形ABCDの辺BC, CD の中点をそれぞれE, F とし,対角線 BD と AE, AF との交点をそれぞれP, Q とする。 PQ BD を求めよ。 153 三角形の外心と内心が一致すれば,その三角形は正三角形であることを 証明せよ。 5 PC 下の図にお * (1) 3 BXP 6 下の図に *(1) A

なぜ余りがこのように置けるのですか

整式P(x) を x2-2x+3で割ると余りは2x-7となり, x+2で割ると余りは11となる。 P(x) を (x2-2x+3)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。 (P00) 老1X2-2x+3)(キス)で割ったときの余りの(x=-2x+3)+2x=7 P ( x 5c (X² - 2x + 3) (X ²42) - 157224065 tbe-crac 余りの(X=2x+3)+2xととおく P(x)=(x)=2x+3)(x+2)Q00+α(x-2x+3)+22-7 条件よりP(-2)=11 PC-2)=a(4+4+3)-4-7

（1）の解答の線引いているところの式が理解できないです🙇

CF : FD を求めることができる。 60 (1) BP : PC=s: (1-s) とするとD= OP=sOC+(1-s)OBD 4311-12 -sa+(1-s)b 2 5 64-11+1²H003 1 MP: PD = t: (1-t) とすると = S OP = (1-t) OM+tOD=(1-t) 1-14+t a+ A 5 これを解くと # S=- -=2- a0, ②より 2/28=1-11-s= 5 12 (2) -1-s M 15:48 P # D 1-t 3 2 8 JC²AJ 0, a と は平行でないから, ①, 1-t 4+t\0A 1-s=8¹** B 82 A 30 t= 31 AO 7 したがって OP= = a + 12 A & 6 (2) 点Qは直線OP上にあるから, LO a+b 5 1 + b ) + 1/ 16 ・tb 2 S dast α 61

写真の質問に答えてください！

84 重要 例題 174 曲面上の最短距離 右の図の直円錐で,Hは円の中心,線分 AB は直径, OH は円に垂直で, OA=a, sin=1/3 とする。 点Pが母線 OB 上にあり, PB= 点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経 路の長さを求めよ。 a B=/1/3 とするとき, 解答 sin= =1/3であるから AB=2r とすると,△OAH で, AH=r, ∠OHA=90°, r_1 ---- 円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。 そこで、曲面 側面の展開図は扇形となる。 を広げる,つまり 展開図で考える。 なお,平面上の2点間を結ぶ最短の経路は、2点を結ぶ線分である。 a 側面を直線OA で切り開いた展 開図は、図のような, 中心 0, 半径OA=αの扇形である。 中心角をxとすると、図の 弧 ABA' の長さについて 2ла• r_1 360° -= 2πr -であるから - a 3 B P 0 x=360° =360°/1-120° a ここで, 求める最短経路の長さは、図の線分 AP の長さで あるから、△OAP において、余弦定理に 理により より AP2= OA2+OP2-20A ・CPCO 6'0 a ² + ( 1²/3-a) ². -2a---a a. 9 AP >0であるから, 求める最短経路の長さは -a² A' 誰 √7 A 00000 0 iz. この式体 a 基本153 HE S 20115 【弧 ABA' の長さは,底面 の1の円周に等しい。 2点S, T を結ぶ最短の 経路は, 2点を結ぶ線分 ST 11 ol 2

数２の質問です！ 123の(3)を教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

第3章 図形と方程式 2つの円の交点を通る図形 テーマ 55 2つの円の交点を通る図形 2つの円x2+y²-6x4y+12=0 ･･･ ①, x2+y²-2x-2y=0 について、次の問いに答えよ。 (1) 2つの円 ①. ② は2点で交わることを示せ。 56 (2) 2つの円①, ② の2つの交点と点 (4, 0) を通る円の方程式を求めよ。 (1)半径がそれぞれR, (R>r) である2つの円の中心間の距離をdとすると 2つの円が2点で交わるR-r<d<R+r (2) 方程式 (x2+y²-6x-4y+12)+k(x+y-2x-2y)=0の表す図形は k-1のとき2つの円の2つの交点を通る円 k=-1のとき 2つの円の2つの交点を通る直線 解答 (1) ① を変形すると (x-3)+(y-2)=1 よって, 円 ① の中心は点 (3, 2), 半径は 1である。 (x-1)+(y-1)=2 ② を変形すると よって, 円 ② の中心は点 (1, 1), 半径は √2である。 2つの円 ①,②の中心間の距離は d=√(3-1)+(2-1)'=√5 ② 半径√2 図形 ③点 (40) を通るとき これを③に代入して整理すると これが求める円の方程式である。 応用 2 (1,1) ① 半径1 (3,2) DALLA ゆえに √2-1<d<√2+1 したがって、 2つの円 ①, ② は2点で交わる。 終 (2) kを定数として, 方程式 (x2+y²-6x-4y+12)+k(x2+y²-2x-2y)=0 ③ を考える。 (1) により、2つの円 ①,②は2点で交わり、③は2つの円 ①,②の 2つの交点を通る図形を表す。 1 4+8k=0> よって k=-- x2+y²-10x-6y+24= 0 2 ①, x2+y2=4 (2 123 2つの円x2+y²-8x-4y+4=0 ついて,次の問いに答えよ。 2つの円 ①,②は2点で交わることを示せ。 2つの円①② の2つの交点と点 (1,1)を通る円の方程式を求めよ。 2つの円 ①,②の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ｡ 28 基本と演習テーマ 数学ⅡI 122 (1) 円+y=18は中 心が原点, 半径が3√2の 円である。 2つの円の中心間の距離d は d=√12+(-7) =√50=5√2 2つの円が外接するとき 求める円の半径を 5√2=r+3√2 とすると これを解くと=2√2 よって, 求める円の方程式は (x-1)²+(y-(-7))^²=(√2)^ すなわち (x-1)²+(y+7)²=8 (2) x2+y²-12.x +4y+390 を変形すると (x-6)^+(y+2)=1 110 ...... 114 これは,中心が点 -7 123 (1) ① を変形すると (x-4)²+(y-2)² 44) (x-3)²+(y-2)² = 6² すなわち (x-3)^+(y-2)^²=36 (6, -2), 半径が1の円 を表す。( 2つの円の中心間の距離 dは 前 d=√(3-6)^2+(2-(-2))=√25=5 2つの円が内接するとき 求める円の半径を とすると, 図より 5=y-1 これを解くとv=6 よって, 求める円の方程式は y1 2 O =16 よって, 円 ① の中 ② 半径2 心は点 (4,2), 半径 は4である。 円 ② の中心は 点 (0, 0), 半径は2である。 円 ①,②の中心間の距離は + x -2 6 O ① 半径4 d. (4,2) x 形 ③点 (1,1)を通るとき 月①,②の2つの交点を図形を表 -6-2k=0 x2+y2+4x+2y-80 これが求める円の方程式である。 (3) ③ において, k=1 とすると -8x-4y+8= 2x+y20 124 (1) 求める軌跡は, 直線y=1からの距離 が2で､ 直線y=1と 平行な2直線である。 よって 直線y=3, 直線y=-1 (2) 求める軌跡は,線分 ABの垂直二等分線で ある。 よって pold=√42+22=√2=2√5 4−2<d<4+2であるから, 円 ①,②は2点 で交わる。 (2) kを定数として, 方程式 よってk=3 これを③に代入して整理すると (x2+y2-8x-4y+4)+k(x²+y²-4) = 0 ...... (3) を考える。 (1) により, 円 ①, ② は2点で交わり, ③は すなわち これが求める直線の方程式である。 直線 x=2 (3) 求める軌跡は, *+(y-2)=16 点 (1,2)を中心とする 半径3の円である P (2) AP¹=x-(-3)= BP=(x-3)² + AP' + BP=20で (x+3)²+y = 整理すると したがって、点 逆に、この円上 て, AP3 + BP- よって 求め 原点を (3) A.P'=x- BP2=(x- AP2-BP2- 0 AB (1,2) (x+ 整理すると したがって 逆にこ いて, A よって, 126PC とする。 Pに関す AE 125 点Pの座標を(x,y)とする (1) AP2=(x-2)^2+y2, BP2=x2+(y-6° AP=BP より, AP2=BP2であるから (x-2)2+y2=x2+(y-6)²2 これよ すなわ AP2= BP2= B = す し あ 3 整理すると x-3y+8=0 したがって, 点Pは直線x-3y+8= 0 上にあ る。 逆に,この直線上のすべての点P(x,y) につ いて, AP BP が成り立つ。 よって, 求める軌跡は 直線x-3y+8=1|

分かる方やり方を教えてほしいです！ 赤色の線は関係ないと思います！ お願いします！！！！

□ (2) B 3 4 R A P 5 C 13e Q a 10 12 AB: BR=4:3, AC: CQ = 5:3