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重要 例題 44 ベクトルと軌跡
件 AP･BP +BP･CP+CP･AP=0 を満たすとき,Pはどのような図形上の
平面上の△ABC は BA・CA = 0 を満たしている。この平面上の点Pが
岡山理科大
点であるか。
CHARTO SOLUTION
解答
BA･CA=0 から, △ABCは∠A=90°の直角三角形である。
AB=1, AC =c, AP= とすると、条件の等式から
þ· (b − b ) + (p − b ) · (p −c)+ (p—c) • p=0
6•c=0
+1=0
△ABC の問題 Aを始点とする位置ベクトルで表す ......①
条件式の中の各ベクトルを, Aを始点として, ベクトルの差に分割して整理する
ベクトル方程式に帰着できないかと考える。
BA･CA = 0 から
よって
整理すると
ゆえに
よって
ゆえに
・万+1
3|p²²-2(b + c) • p=0
| B³² - 3²3² (b + c) • p = 0
|ñľ— ²3 (6 +č)·ñ+( ²3 16+č 1)² = ( ² 1 6 + ĉ¹1) ²
-
|p-} - (b+c)|=| ³+ |³²|
3
辺BCの中点をM, AM = m とすると
+ c = 2mを①に代入すると
①
m=
b+c
16/01/23 よって ||||
2→
AG=12/27m とすると,Gは線分 AM を 2:1に内分する点で
ある｡
したがって,点Pは△ABCの重心Gを中心とし、半径が
AG の円周上の点である。
BALCA
Aを始点とする位置べ
クトルで表す。
・AB・AC=0
◆2次式の平方完成と同
様に変形する。
◆Mも定点である。
inf. Gは△ABC の重心
0 である。
SETS P
B
+
¥
M
'G
PRACTICE・・･・ 44 平面上に, 異なる2 定点 0, A と,線分 OA を直径とする円C
考える。また,円C上に点Bをとり, OA=4,OB=1
とする。
(1) この平面上で, OP・AP + AP・BP +BP･OP = 0 を満たす点Pの全体よりな
の中心をD,半径をrとする。 OD およびr
を用いて
(2) (1) において Rim
