この問題なんですが、「より、1.05^n大なり=2」 がどうして、そうなるのかが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

8 (36) 第1章 数 列 Think 例題 B1.14 複利計算 **** 年利率5%で100万円を借りて,ちょうど1年後から毎年10万円ずつ 返すとき、何年後に返し終わるか. ただし、1年ごとの複利で計算し,10gio1.05=0.0212, 10gt2=0.3010 と する. 考え方 元金をS円, 年利率を とすると, 元金S円のn年後の金額は, S(1+r)" ...... ① 一方, 1年後から毎年α円ずつ積み立てたときのn年後の金額は, a+a (1+r) ++ a(1+r)" -² + a(1+r)^- wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww ①②となるときを考える。 (次ページ Column 参照) 解答 100万円を年利率5%でn年借りると、返済の総額は, 100×(1+0.05)" =100×1.05" ......1 単位は「円」ではなく wwwwwwwwww また,毎年の返済額10万円を. 年利率5%で積み立てた「万円」で計算してい ときの年後の総額は, 10+10×1.05+10×1.05 +... + 10×1.05" -=200(1.05"-1) 10(1.05"-1) 1.05-1 n 年後に返し終わるとすると ②① となる. 200(1.05"-1)≧100×1.05" 1.05"≥2 両辺の常用対数をとると, log101.05" log102 したがって, nlogo1.05≧log102 logio2=0.3010, logio 1.05 0.0212 より 0.0212n≧0.3010 0.3010 る. 返済額 10万円にも 利率5% を掛けてい 初項10, 公比 1.05 0 等比数列の初項から 第n項までの和 常用対数 log101.05" |=nlog101.05 n =14.198...... 0.0212 よって, n≧15 となり, 15年後に返し終わる。 は自然数 Focus 練習 注 元金α 年利率 1% n 年後 複利計算でα(1+0.01xp)" 複利計算のように桁数が大きくなる計算ではのように万単位で計算するとより ただしこのとき, すべての金額の単位を万単位にすることを忘れないように, → 1000000(円) 100 (万円) 100000(円)→10 (万円) 年利率7%で100万円を借りて, ちょうど1年後から毎年等額支払い 20回 ■14 完済するためには、1回の返済金額をいくらにすればよいか。 ** ただし、1年ごとの複利で計算し, 1.07 = 3.87, 答えは100円未満を四捨五 せよ.

1枚目の写真の不等号がわかりません。 なぜウオは≦、≧でしたに＝があるのですか？個人的に問題文の範囲が≦とか下に＝があるからかなと思ったのですが、2枚目の写真、これはフォーカスゴールドのやつなのですが、これも範囲は≦とかで下に＝があるので、なぜ、1枚目の方の問題は≦、≧にな... 続きを読む

3 2 数学Ⅰ・数学A 2015年度 本試験 数学Ⅰ・数学A 3 (注)この科目には,選択問題があります。(2ページ参照) y=-x2+2x+2 第1 1問 (必答問題) (配点 20 ) 問題 選択方法 第1問 必 答 第2問 必 答 2 4 2次関数 y=-x+2x+2 ① のグラフの頂点の座標は ア 3である。また -(x-1)2+3 y=f(x) =-(x²-2x)+2 ={(スーパー13+2 (x-1)2+1+2 第3問 必 答 -6 第4問 いずれか2問を選択し、 はxの2次関数で,そのグラフは、①のグラフをx軸方向にかソ軸方向にだ 平行移動したものであるとする。 y-9=-{(x-P)-132+3,y=(x-P-12+3+& 第 5問 解答しなさい。 (1)下 オ には,次の①~④のうちから当てはまるものを一つ 第6問 ずつ選べ。 ただし、 同じものを繰り返し選んでもよい。 y=(x-1)+3 (y-8)=(x-P)-132×3 x=2のとき y=-12-1743=+2 x=4のとき y=-(4-1)^+3=-6 y=(x-P-12+3+軸x=Pel.(Ptl.3+) 2≦x≦4 Maxf(2)→x=2が 12EXε4 Minf(2) → X=2p11 Minとるところ 2 4 Maxとるところ 2+4 Pt1≦2 均衡 =3 2 P§ (-- (7)(+) 35P+1 P+1≧3 X-P+1 414 © > ① < 2 ≥ ③ W ④ キ 2 x 4 におけるf (x) の最大値が f (2) になるようなの値の範囲は ウミ I であり、最小値がf (2) になるような♪の値の範囲は 2 カス P である。 r-n+1 P≧2-(オリ(カ) (数学Ⅰ・数学A第1問は次ページに続く。)

最大値の方です！！ 2枚目の写真が私が解いたやつなのですが、軸の2で場合分けをしたらダメなのですか？あと、その場合、③が2<0<aみたいに変になるのですがどうしてなのですか？ どなたかすみませんがよろしくお願いしますか

Think 例題 41 定義域が広がるときの最大取 a>0 とする. 関数 y=x2-4x+5(0≦x≦a) について,次の問いに答 えよ. 最大値を求めよ. 考え方 グラフをかいて考えるとよい . 最大値 k2 最小値を求めよ. 4 最大 5 (1) 与えられた関数のグラフは下に凸で,軸は直線x=2 である. 定義域はαの値が大きくなるにつれて拡大して いくので,それにともない定義域の左右のどち らの端点が軸から遠くなるか考えてαについて 場合分けをする.そのとき, 両端点と軸からの 距離が等しいとき, つまり、定義域の中央と軸が 一致するときに着目する. M a=4 0 12 a x M ここでは,0≦x≦a の中央 x=1 と軸 x=2が一致する場合より、1/20 =2 つまり, a = 4 のときに着目する. (2)下に凸のグラフなので,最小値は定義域に軸が含まれるかどうかで場合分けする。 解答 y=x2-4x+5 =(x-2)2+1 (81) グラフは下に凸で,軸は直線 x=2 場合分けとグラフを 用いて考える. EX 0 ≤ x ≤a (1)(i) 0<a<4 のとき グラフは右の図のようになる. x=0 のとき最大となり, 最大 の中央=22 x=2 が一致する 最大値 5 きに着目して, O 2 a 4 x (ii) α=4 のとき y 1=2つまり 2 グラフは右の図のようになる. / 最大 を境に場合分け x=0, 4 のとき最大となり, 最大値 5 5 (1)x=0 の方が イーム P=3 (1)=(d (ii) α>4 のとき a=4 0 2 ax 4a+5 グラフは右の図のようになる. x=αのとき最大となり, 最大値 α-4a+5 最大 ら遠い場合 (ii) x=αの方が ら遠い場合 2 4 ax よって,(1)~(Ⅲ)より, [0<a<4 のとき, 最大値5 (x=0) a=4のとき、 最大値5 (x=0, 4) a4のとき、 最大値 α2-4a+5(x=α) R α=4のとき のどちらかに おいてもよ

集合と命題です （2）のAかつＢが9－2aとなる理由が分かりません ご回答よろしくお願いします

Think 例題 90 集合の表し方(2) 1集合 181 **** ① 20以下の自然数の集合を全体集合ひとして,次のUの部分集合 A, B,C,D の包含関係をいえ=ア A={nnは3の倍数}, B={nnは6の倍数}, 2 C={n|nは3の倍数または2の倍数 D={n|nは3の倍数かつ2の倍数 } (S) 80A D ②2 全体集合をU={n|nは自然数, 1≦n≦6}, Uの部分集合を A={a, a-3}, B={2, a+2, 9−2a} とする. A∩BØ, AD2 のとき,αの値を定め、 A を求めよ. 考え方 (1) xEP となるxが必ずxEQ のとき,PCQ となり, 解答 PCQ かつ QCP のとき,P=Qとなる. まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す. (2) 与えられた条件に注目する。 A∩BØ とは, AとBの中に同じ要素があるということ さらに,AD2 より,その要素は2ではないことがわかる。 (1) A={3,6,9,12,15,18}, B={6, 12, 18} より, BCA E={n|nは2の倍数} とすると, ●x A -B、 ·Q· 第3章 (ax> AB AUE を見つ E= {2,4,6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} C=AUEDA より、 D=ANE={6,12,18}=B よって, B=DCACC (2) U= {1,2,3,4,5,6} である. A={a, a-3}, B={2, a+2,9−2a} で, a-3<a<a+2,A2 より, (i) 9−2a=a のとき A∩B={9-2a} なぜ? a=3 となり,このとき, (S>21- a-3=0 6の要素のうち、Aの 要素となり得るのは、 92aのみ a-3<a<a+2 より, a+2=α, a-3 全体集合の要素は1 つまり, A={0, 3} となるが,U0 より,不適. から6までの自然数で (ii) 9−2a=a-3のとき α=4 となり, A={4, 1}, B={2,6,1} はともにUの部分集合で, A∩B={1} QUINA よって、 a=4,A={2,3,5,6} (0) あり,AとBの要素が ひの中に入っているか 注意する. AnB≠Ø の確認 (

組み合わせの問題です！ 階乗でやる方法なかったですか？ 解説お願いします

304 基本 例題 30 整数解の組の個数(重複組合せの利用) 00000 (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z)は何個あるか CHART & THINKING 整数解の組の個数 ○と仕切りの活用 p.294 基本事項 基本-20 (1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から 重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の○と2個の仕切りの 順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x, y, zとする。 例えば 〇〇〇一〇〇一〇〇には (x, y, z)=(3, 2, 2) 一〇〇〇〇〇〇〇には (x, y, z)=(0, 2, 5) がそれぞれ対応する。 (2)x,y,zが正の整数であることに注意。 (1) の考え方では0となる場合も含むから x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおき, 0であってもよい X≧0, 0, Z≧0 の整数解の場合((1) と同じ)に帰着させ る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから, 残った7個の ○と2個の仕切りを並べることと同じである。 また,別解のように,10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。 解答 (1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列 に並べる順列の総数と同じであるから ( 別解求める整数解の組の 個数は,3種類の文字 zから重複を許して7個 る組合せの総数に等しい ら3H7=3+7-1C7=9C7 =9C2=36 (1) X = 0, Y ≧ 0,Z≧0 C=C2=36(個) 合韻高 (2)x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと このとき,x+y+z=10 から (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10x=x+1, y=Y+l, 重要 例題 3 次の条件を満 (1) 0<a<b CHART & 大小関係が条 (1)条件を満た ら4個の数字 (2) (1) とは違 (2,2,2,2 それらの数 重複組合せ 別解として A=a, B= (a, b, c, (A, B, C. するから, 解答 (1)1,2, 小さい順 まる。 よって、 (2) 0, 1, 2 い順に よって、 よって A= 条件 0 7! よって X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0 ...... A z=Z+1 を代入。 別解 求める正の整数解の組の個数は, A を満たす0以上の整数 解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個 OC (別解 10個の○を並べる。 である。 よって、

この問題って右下にあるように定数分離を使っても解けると思うのですが模範解答の解き方も覚えないといけないですか？ 定数分離の方が自分的にやりやすいのでもし覚えなくて良かったらその方法だけでやりたいです。

4 第4章 三角関数 Think 10/17x **** 例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件 OOT とする. 0 の方程式 cos20+asin0+a=0･･････① を満たす 0 が存在するための定数αの値の範囲を求めよ. ( 岩手大・改 ) [考え方 sing とおくと、2倍角の公式を利用して、1の2次方程式として考えることがで きる。 (0) f(1) が同符号のとき f(t) のの係数が正より 区間 ②で③が実数解をもつための条 件は, f(0)>0 かつ f(1)>0 かつ f(t)=0 の判別式をDとすると. D≧0 かつ y=f(t)の軸が区間内 つまり、tの2次方程式の解の存在範囲の問題となるので 2次関数のグラフと軸の である. 共有点を考えるとよい. f(0)=a-1>0より, 解答 a 3 三角関数の加法定理 295 f(0) <0. f(1) < 0 の場合は区間内に解 をもたない。 17 0 a>1 ...... ④ f(1)=2a+1>0より 1 a> 2 8 t D=α-8a +820 より a≦4-2√/24+2/2≦a .......⑥ a-8a +8=0. 4=4+2/2 のとり得る値の範囲に注意しながら、 実数解 tの存在範囲を調べればよいが,そのと 上のようにいろいろな場合が考えられ、場合分けの必要がある場合分けをする ときの着眼ポイントは、「区間の端点の符号」,「軸と区間の位置関係」 「判別式(また は2次関数のグラフの頂点のy座標)」 である. t = sin0 とおくと,00πより 0≦t≦1 .....・・ ② cos20=1-2sin'0=1-2F より ①に代入して, -(1-2f2) + at + α = 0 つまり、 2f+ at+a-1=0 ...... ③ したがって、 ①を満たす 0 が存在するための条件は,区 間②において,tの2次方程式③が少なくとも1つの実数解 をもつこと, つまり ③より f(t)=21+atta-lとお とy=f(t)のグラフが区間②でも軸と少なくとも1つ の共有点をもつことである. (i) (0) (1) が異符号のとき つまり,f(0)f(1) <0 のとき f(0)=a-1 f(1)=2+a+a-1=2a +1 したがって, (a-1)(2a+1)<0 よって、12<a<1 -4<a<0 ......⑦ 軸はto より <<1 4 つまり. 以上(i)~(i)より,求めるa の値の範囲は したがって、④~⑦を同時に満たすαの値は存在しない。 ≦a≦1 Focus 最終的に2次関数の 解の存在範囲における場合分け 48 する。 問題として捉えるこ とができるかがポイ ント 区間の端点の符号で 場合分けを考える. (注)を参照) f(0)>0,f(1)<0 または, f(0) <0. f(1)>0 より 1 t f(0) f(1)<0 f(0)=0 のとき, す でに f=0 が③の解 となるのでf(1) の符 よって a= =1/12 または a=1 号は関係ない. () f(0)=0 または f(1) = 0 のとき つまり,f(0)f(1)=0 のとき (a-1)(2a+1)=0 f(t) =2f+ at+a-l =21++ 第4章 「区間の端点の符号」 「軸と区間の位置関係」 「判別式(または2次 関数のグラフの頂点のy座標)」に着目せよ! 注〉 例題152で 「区間の端点の符号」で場合分けを行ったのは, (i) や (i) の場合は端点の符 号を調べれば,軸や判別式を調べなくても、題意を満たす αの値の範囲を調べること ができるからである. このことは, Focus Gold 数学Ⅰ+Aの第2章 「2次関数」 で学んだ 「解の存在範囲」 の問題と関連している. 注) 「定数分離」という着眼から, 例題152を次のように解くこともできる. 2t2+ at+a-1=0 より 2t-1=-at-a g(t)=2t-1.h(t)=-at-a とすると, ③を満たす が区間②内に存在するのは, y=g(t) と y=h(t) が区 間②において共有点をもつ場合である.このとき, h(t)=-a(t+1) より,y=h(t)は定点(-1, 0) を通 る直線であるから, 右の図より、共有点をもつのは, -15-as y=g(t) 1 =h(t) (0, -1) を通る直線から, より、 1/2sas1のときである。 (1,1) を通る直線まで変化する. 練習 152 とする0の方程式 sin' +acos0-2a-1=0………① を満たす 0 (同志社大 改)

オレンジの蛍光ペンを引いているところと緑の蛍光ペンで引いたところは何か関係があるのでしょうか？ 3.5.15の倍数をそれぞれ出して100から200の範囲で求めても結局足したら同じ300になると思うのですが、偶然なのでしょうか？ どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

1-8 (26) 第1章 数列 Think 例題 B1.5 数列の共通項 **** 100から200までの整数のうち、3または5の倍数の総和を求めよ. 考え方 (3の倍数または5の倍数の総和) =(3の倍数の和)+(5の倍数の和) ( 15の倍数の和) として求めればよい. n を整数とすると, 3の倍数は3で 102 から198 までの数 5の倍数は5m で 100から200までの数 15の倍数は15m で 105から195 までの数 それぞれの和は, 等差数列の和の公式を用いて求める. 3の倍数 15の倍数 -5の倍数 解答 100から200までの整数のうち、3の倍数の和をS1, 3と5の最小公倍数15の 5の倍数の和を S2, 15の倍数の和を S3 とする. 倍数が重複しているので、 3の倍数で最小のものは, 3×34=102 S3も考える. 3の倍数で最大のものは、 3×66-198 100 200 -≤ns- 66-34+1=33 (個) であるから、3の倍数の個数は, したがって, S は、 初項 102. 末項198, 項数33の等 差数列の和だから, 3 を満たす 最大のnは66, 最小の は 34 (6-8)s S₁ =- 133(102+198)=4950 99, 102,..., 198 第33 第34 第66 同様にして, S2 は, 初項 100, 末項 200, 項数21の等 差数列の和だから, 個目 個目 |個目 S2=12121(100+200)=3150 S3 は,初項 105, 末頃 195, 項数7の等差数列の和だ から、 (66-34+1)=(66-33) 個 より, 頭数は33 (33個目までを引く) 100=5×20 101-1200=5×40 S=127(105+195)=1050 よって、求める和をSとすると、 S=S+S2-S3=4950+3150-1050=7050 40-20+1=21 より, 項数は21 105=15×7 195=15×13 13-7+1=7 より,項数は7 Focus んの倍数 自然数の倍数は公差の等差数列

(1)について質問です。なぜこの問題では場合分けをしないのですか？横にどちらも負になればよいから場合分けをしないと書いてありますが意味がよく分かりません💦なぜそのように言えるのか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️🙏🏻

3 2次方程式 Think 例題 75 ある区間でつねに成り立つ不等式 次の条件が成り立つような定数αの値の範囲を求めよ. (1) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8<0 が成り立つ. (2) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8>0 が成り立つ. 考え方 グラフで考える. f(x)=x-4ax+4a+8 のグラフは下に凸 (1) 区間内での最大値が負であればよい. m (2) 区間内での最小値が正であればよい. 解答 f(x)=x2-4ax+4a+8 とおくと, f(x)=(x-2a)-4a²+4a+8 (1) y=f(x) のグラフは下に凸なので, **** 2≦x≦6 での最大値はf(2) または ∫ (6) である. 2≦x≦6 でつねに f(x) <0 となる 条件は, Jf(2)=-4a+12 < 0 lf(6)=-20α+44 < 0 これをともに満たすのは, a>3 (2)y=f(x)のグラフは下に凸で,軸は直線x=2a (i) 2a <2 つまり α <1 のとき 2≦x≦6 での最小値はf(2) よって, 求める条件は, f(2) = -4a+12 > 0 したがって a <3 これと α <1より, a <1 (ii) 2≦a≦6 つまり 1≦a≦3のとき 2≦x≦6 での最小値はf(2a) よって, 求める条件は, 81 2a 26x どちらも負になれば よいから、 場合分け はしない. 下に凸なので,最小 となるのは軸, 左端 x=2, 右端 x=6の いずれか 軸の位置で3通りに 場合分け 必ず, 場合分けした 範囲と合わせる. f(2a)=-4a²+4a +8 > 0 a2-a-2<0 したがって, -1<a<2 2 2a 6 x (a+1) (a-2)<0 これと 1≦a≦3 より, 1≤a<2 -1<a<2 (iii) 6 <2α つまり α>3 のとき 2≦x≦6 での最小値はf(6) よって, 求める条件は, したがって, a<- f(6)=-20a+44> 0 11 これと α>3 より, 解なし よって, (i)(ii)より, a<2 12a (i) (ii) XC 1 2 a 場合分けしたものは, 最後はドッキング 20

英語の和訳なのですが、 ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ Given that, as a youngster, he had no greater fear than that of appearing on stage in front of a large crowd, i... 続きを読む

積分についての質問です。青マーカーを引いた部分はなぜ0≦x≦1ではダメなのですか？-x^2+xは0≦x≦1だから≦でいいと思うのですが。またx^2-x=mxの時はx≦0 1≦xを満たすで≦を使っているのにどうして-x^2+x=mxの時は使ってないのですか？教えてください。

Think 10/12 例題 239 絶対値を含む関数と面積 (1) mの値の範囲を求めよ. [考え方 直線 L と曲線Cは原点を通り、 右の図のようになる。 (1) xx=mx (x≦0 1≦x) と-x'+x=mx (0≦x≦) の異なる実数解の個数が3個となるmの値の範囲を 求める,または, 直線Lと曲線 C の異なる共有点の 個数が3個となるときの直線Lの傾きからの値の 範囲を調べる. (2)公式 f (xa)(x-β)dx=-1/2 (B-α) を利用する。 C LO 450 第7章 積分法 **** mを正の定数とする. 直線L:y=mx と曲線 C:y=xx の異な る共有点の個数が3個のとき,次の問いに答えよ. する 2 直線と曲線Cとで囲まれる部分の面積Sの最小値を求めよ。 y 1+m x²-x (x≤0. 1≤x) 解答 (1)|x-x|= miiii -x²+x (0≤x≤1) m x=mx とおくと, x(x-1-m)=0より, また,直線Lは原点を通る傾きm (m>0)の直線である。 \x2-x=\x(x-1)\ x=0, 1+m >0より、この2つの解はx 1を満たす. x=0, 1-m xx=mx とおくと, x(x-1+m) = 0 より x=1-m が0<x<1, つまり, 0<1-m<1 より,0<m<1 を満たせば、 直線Lと曲線Cの異なる共有点の個数は3個となる. よって, 0<m<1 (別解) y=-x'+x において, y'=-2x+1 より, x=0 のとき, y'=1 であるから, 放物線 y=-x+xの原点における接線の傾きは1 である. y-8/m=1 C O ISL m=01 となるときの直線Lの傾きの値の範囲は, よって,右の図より,直線と曲線Cの異なる共有点の個数が3個 yA S1 S2 Foc 0<m<1 (2) 直線Lと曲線Cとで囲まれる部分のうち, O 1-m 0≦x≦l-m の部分の面積をS, 1-m≦x≦1+mの 部分の面積をS2とし, 直線と曲線 y=xx とで 囲まれる部分の面積を S3, x軸と曲線 y=x-x とで 囲まれる部分の面積を S4 とすると, S2=Si+S3-2S4 1+m ya S3 1+m したがって S=Si+S2=2S+S3-2S4 ....① www 直線Lと曲線Cの共有点のx座標は, x=0, 1-m,1+m であるから, Cl-m Si= "{(x+x-mx)dx =-fx(x-(1-m)}dx ((1-m)-01-(1-m)³ -8 1+m 練 123 **