33.1 記述特に問題ないですかね？？

348 基本例題 33 重複組合せの基本 次の問いに答えよ。 ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする。 (1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 作られる組の総数を求めよ。 (2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。 ■p.347 基本事項 解答 (1) 3つの○で数字, 3つので仕切りを表し, 1つ目の仕切りの左側に○があるときは 1つ目と2つ目の仕切りの間に○があるときは 2つ目と3つ目の仕切りの間に○があるときは 3つ目の仕切りの右側に○があるときは を表すとする。 tekn このとき3つの○と3つの|の順列の総数が求める場合の 数となるから 6C320 (通り) (2) 6つの〇でx, y, zを表し、2つので仕切りを表す。 このとき, 6つの○と2つのの順列の総数が求める場合の 数となるから 8C6=gC2=28 (通り) 11361 指針 基本事項で示した„Hy=n+r-Cr を直ちに使用してもよいが,慣れないうちはnと 違いやすい。次のように,○と仕切り」による順列として考えた方が確実。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3つの○と3つの仕切り | の順列 (2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。 →6つの○と2つの仕切りの順列 検討○と」を使わない重複組合せの別の考え方 別アプ ローチ 練習 ③33 数字 1 数字 2 数字 3 数字 4 このとき ○重要35 (1) 例えば,〇〇|〇| BACK 1 234 れる。 したがって 求める組合せの総数は,C3=20 (通り) である。 で (1,1,3)を表し、 SUB101010 (2) 例えば, 1234 (2,3,4)を表す。 00|0010 00010100 xy 2 xyz2を表す。 (1)で,取り出した数を小さい順に並べ、その各数に 0,1,2を加える。例えば 1,1,3→1,2,5 3,4,4→3,5,6 となる。 このようにしてできる数で最小のものは1+0=1, 最大のものは 4+2=6で あるから 求める組合せの総数は, 1,2,3,4,5,6の6個の数字から3個を取り出す 組合せ 総数は C) に一致すると考えられる。 逆に,このようにしてできる組において, 2, 3 4 2,2, 2; 1,3, 6→ 1,2,4のように,各数から 0, 1,2を引けば、条件を満たす組合せが得ら (1)8個のりんごをA,B,C,D の4つの袋に分ける方法は何通りあるか。 し, 1個も入れない袋があってもよいものとする。 (2)(x+y+z) の展開式の異なる項の数を求めよ。 「基 (1. (2 指針 解 (1) (2) 3 こ C = 別角 C 練

55.2 記述特に問題ないですかね？？

382 00000 重要 例題 55 図形上の頂点を動く点と確率 円周を6等分する点を時計回りの順にA,B,C,D,E,F とし,点Aを出発点 として小石を置く。 さいころを振り, 偶数の目が出たときは2, 奇数の目が出た [北海道大] ときには1だけ小石を時計回りに分点上を進めるゲームを続け、最初に点Aに ちょうど戻ったときを上がりとする。 (1) ちょうど1周して上がる確率を求めよ。 (2) ちょうど2周して上がる確率を求めよ。 指針 さいころを振ることを繰り返すから、 反復試行である。 (1) 1周して上がる 1,2をいくつか足して6にする｡ → 偶数の回数 m, 奇数の回数nの方程式を作る。 (2) 2周して上がる 1周目にAにあってはいけない。 A→F, F → B, B → A と分ける。 このときA→FとB→Aは ともに5だけ進むから、同じ確率になる。 ...... ...... よって 6 ら、求める確率は(1/2)+c(1/2)(1/2)+c(1/2)(/1/2)+(1/2)-11 43 (m,n)=(0, 5),(1,3),(2,1) (1/2)+c(1/2)(1/2)+c(1/2)^(1/2)=13/12 解答 (1) ちょうど1周して上がるのに,偶数の目がm 回 奇数の目が回出るとすると 2m+n=6 (m,nは0以上の整数) (m, n)=(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0) 各場合は互いに排反であるか (小)(+)(1)(1) [2] 偶数の目が出るときであるから、確率は1/12 21 [3] 確率は [1] と同じであり 32 21 1 よって, 求める確率は 32 2 (2) ちょうど2周して上がるのは,次の [1]→ [2]→[3] の順に進む場合である。 [1] AからFに進む [2] F からBに進む (Aには止まらない) [3] BからAに進む (1) と同様に考えて,各場合の確率は [1] 2m+n=5から この場合の確率は × かにそれぞれ確率 1/2/3で F. E 21 441 32 2048 基本52 3秒後にEにいる確率を D 奇 練習 動点Pが正五角形ABCDE の頂点Aから出発して正五角形の周上を動くものと ⑨55 する。Pがある頂点にいるとき, 1秒後にはその頂点に隣接する2頂点のどちら で移っているものとする。 [3] BからAに進むとき 5 だけ進む。これは [1] の からFに進む (5だけ進む) のと同じであり、確率も等 しい｡

写真の積分のやり方を教えていただきたいです お願いします

-1 2 S² √ (8-17+1 d³

（3）の最初のa＝2とはどういうことですか

18 微分法の応用 234. 不等式の成立条件〉 a ≧0である定数αに対して, f(x)=2x-3(a+1)x2 +6ax +α とする。 (1) f'(x) を求めよ。 (2) a=0 のとき, f(x) の極値を求め, 関数 y=f(x) のグラフをかけ。 (3) x≧0 において f(x) ≧0 となるようなαの値の範囲を求めよ。 63 [17 岡山理科大・理系]

106.2 記述これでも大丈夫ですか？？

472 基本 例題 106 約数の個数と総和 31/ 00000 (1) 360 の正の約数の個数と、 正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。 (2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数n を求めよ。 [(2) 慶応大] (3) 56の倍数で, 正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。 指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。 自然数Nの素因数分解が N = pagere…..... となるとき 正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)...... EO (1+p+p²+…+pª)(1+g+q²+…+q¹)(1+r+r²+…+r²)....... 【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用 (1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは 2.gº.y....... (a≧1,6≧0,c≧0, … ; g, , ... は奇数の素数) 1+ の部分がない。 と表され, その総和は (2+22+..+2°) (1+g+q²+ +q°)(1+r+y^+..+rc)... を利用し, nの方程式を作る。 (2) (3) 正の約数の個数15を積で表し, 指数となる a, b, の値を決めるとよい｡ 15 を積で表すと, 15･1, 53 であるから, nは15-11-1 または'-'g3-1の形。 p.468 基本事項 ④4 ←P, 4, Y, ··· は素数。 解答 (1) 360=232.5であるから, 正の約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24 (個) また,正の約数のうち偶数であるものの総和は pg're の正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1) (p,g,r は素数) の形で表される。 nは56の倍数であり, 56=23･7であるから, nはP2 の形 で表される。したがって, 求める自然数nは n=24.72=784 < 素数のうち, 偶数は2の みである。 (2+2+2)(1+3+3)(1+5)=14・13･6=1092 (2) 12"=(2･3)" = 22" 3" であるから 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a")"=a" であるための条件は (2n+1)(n+1)=28 よって 2n²+3n-27=0 ゆえに (n-3) (2n+9)=0 nは自然数であるから n=3 (3)の正の約数の個数は 15 (=15.1=5･3) であるから, nは または pq2 (p, g は異なる素数) 積の法則を利用しても求め られる (p.309 参照)。 m のところを 2nn とし たら誤り。 15･1から 15-101-1 5･3 から 3-1 の場合は起こらない。 <p=2, q=7

105.2 記述これでも大丈夫ですか？？

基本例題105 素因数分解に関する問題 (1) (2) V40 63n n n² 6'196' BAL. 解答 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 **BaC18030 3 n³ "ST (2) がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 4410 p.468 基本事項 ③ 指針 いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 (1) √A" (mは偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから, √の中の数を素因数分解しておくと,考えやすくなる。 n (2) 17/12 = (m は自然数) とおいて、 を考える 63n 40 DY n² n 23 196' 441 32.7m 3 7n (1) 2³.5 21 2.5 上 これが有理数となるような最小の自然数nはn=2・5・7=70 n (2) 2/1- = (m は自然数) とおくと nº 22.32m²32m² 2 3-m² = (3m)² ゆえに 196 22.72 +77 これが自然数となるのは m=7k(kは自然数)とおくと よって n=2.3m n³ 23.33.7°ki = 23・3・7k3 441 3².7² が自然数となる条件 BONGOTO が7の倍数のときであるから, ① n=2.3.7k 80/00000 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときである から ① に k=1 を代入して n=42 【検討 素因数分解の一意性 - |素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 この自然数nを求め 63=32･7,40=23･5 JMS 3 |素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=32.7 12/12/25×2-5-7 -×2･5・7 212･5 - 12/27-12/12 (有理数) •7=. となる。 < ① より kが最小のとき, nも最小となる。 合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 したがって、整数の問題では, 2通りに素因数分解できれば,指数部分の比較によって方程式を 解き進めることができる。 問題 3.15"= 405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 [解答 3.15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34･5であるから 3m+n.5"=345 よってm=3, n=1 部分を比較して m+n=4,n=1

75.1 記述これでも大丈夫ですか？？

416 LE 00000 基本例題 75 三角形の面積比 (1) △ABCの辺AB, AC 上に, それぞれ頂点と異なる点D, Eをとるとき A+AR AE が成り立つことを証明せよ。 AD.. AADE △ABC AB AC (2) △ABCの辺BC, CA, AB を3:2に内分する点をそれぞれD,E,F とす る。 △ABCと△DEF の面積の比を求めよ。 指針▷三角形の面積比は, p.410で考えたように等しいもの(高さか底辺)に注目する。 (1) まず, 補助線 CD を引く。 △ADEと△ADC では何が等しいか。 ! 1① 三角形の面積比 等高なら底辺の比等底なら高さの比....... (2)(1) を利用。 △DEF は, △ABCから3つの三角形を除いたものと考える。 11点で交わ 解答 (1)2点CDを結ぶ。 △ADEと△ADCは, 底辺をそれぞれ線分 AE, 線分 AC と △ADE AE みると,高さが等しいから ① AADC AC △ADCと△ABC は, 底辺をそれぞれ線分 AD, 線分 AB と AADC AD Ma みると, 高さが等しいから (2) △ABC AB ① ② の辺々を掛けると TRICA FORMAADE AADC AE AD したがって 練習 2 75 RAADE (2) (1)により ゆえに AADC BAS- △ABC AAFE AF AE AD AE AB AC △ABC AB AC ABDF BD BF ACED 三角形の1つの△ABC CA CB ここで 両辺を △ABC で割ると △DEF △ABC △ABC BC BA =1- =1- PGAIS-MA AABC AC AB(+0A)= MA3130 CE CD tra 353-53-5 2|52|52|5 32 △ABC △DEF=25:7 5 5 6 25 6 25 (a+A)s]s=+HA 18+CA= HS+CAA 80MAS-04 B 6 25 6 6 6 7 25 25 25 25 A ADEF=AABC-AAFE-ABDF-ACED 237872 D B F CEDOTO ASPID A 3 基本69 3 [(18+TA)S DA÷8/ D AAFE ABDF ACED * △ABC △ABC △ABCAAROC AL-QAPNY A 2 E JE SETIAA C △ABC の辺 BC を 2:3に内分する点をDとし,辺 CA を 1:4 に内分する点を E とする。 また, 辺ABの中点をFとする。 △DEF の面積が14のとき △ABC の面積を求めよ。 On+IA (p.418 EX47 G

24.1.イ 「他の線分と端点以外の交点をもたない」というのは 「他の線分と端点で交点をもつ」ということですか？ （その場合、線分AG、GFなどということですか？）

基本例題 24 線分,三角形の個数と組合せ 0000 (1) 円周上に異なる 7個の点A, B, C, ・・・・・・, G があり, 七角形ABCDEF 作ることができる。 これらの点から2点を選んで線分を作るとき (ア) 線分は全部で何本できるか。 A (イ)他の線分と端点以外の交点をもつ線分は, 全部で何本できるか｡ (2) △ABC の各辺を3分割したときの6点と3頂点のうちから3点を結んで 一 きる三角形は全部で何個あるか。 基本23 指針▷(1)(ア) 7個の点から2点を選ぶと線分が1本できる。 テム･･･ 人 (C) (イ) (全体) (他の線分と端点以外の交点をもたない)で計算 (2) (2) 9点から3点を選ぶ」と考えて C3 とすると 誤り! 1辺上にある4点から3点を 選んでしまう場合も含まれるので,これを除く必要がある。 解答 (1)(ア)2点で1本の線分ができるから 7221 (本) (イ)(ア) の 21本の線分のうち,他の線分と 端点以外の交点をもたないものは,七角 形ABCDEFGの1辺となる7本の線分 のみであるから 21-714 (本) (29点から3点を選ぶ方法は C3 = 84 (通り) このうち,各辺から3点を選ぶ方法は 3×4C3=12 (通り) ゆえに、求める三角形の個数は 84-12=72 (個) 交点 平行でない2直線で1つできる。 →n本あれば7C2個できる。 直線異なる2点で1本できる。 (1) ■ (1) 正十二角形 ALA2・・・・・・ A C 検討 図形の個数の問題では, 図形の決まり方に注目 三角形 同じ直線上にない3点で1つできる。 または, 互いに平行でなく, 1点で交わらない3直線 で1つできる。 →n本あれば n C3個できる。 B AU) at (2) (1) AE÷1-28 F Asala HO 6x60 X B 題の人の総数を求める。 C 合う 三角形ができない 3点(図 の A, a, B など) の選び方 X ROOF A m 重要 25 e C (3

18.3 6個あるものから4つ選び（6C4）、 その中の1つを固定して考えた（3!）のですが この解き方でも大丈夫ですかね？？

324 基本例題 18 円順列・じゅず順列 (1) 異なる6個の宝石がある。 (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの宝石で首飾りを作るとき, 何種類の首飾りができるか。 (3) 6個の宝石から4個を取り出し, 机の上で円形に並べる方法は何通りあるか ■p.323 基本事項 解答 (1) 6個の宝石を机上で円形に並べる方法は Po =(6-1)!=5!=120 (通り) 6 (2) (1) の並べ方のうち, 裏返して一致するものを同じものと考 (6-1)! 2 指針 (1) 机の上で円形に並べるのだから, 円順列と考える。 (2) 首飾りは,裏返すと同じものになる。 例えば 右の図の並べ方は円順列としては異なるが, 裏返す と同じものである。 このときの順列の個数は、円順 列の場合の半分となる (下の検討参照)。 (3) 1列に並べると 6P4 これを,回転すると同じ並べ方となる4通りで割る。 200 いずれの場合も基本となる順列を考えて、 同じものの個数で割ることがポイントとなる。 CHART 特殊な順列 基本となる順列を考えて同じものの個数で割る えて (3) 異なる6個から4個取る順列 P4 には、円順列としては同 じものが4個ずつあるから JARL 4 = 60 (種類) 6P4_6・5・4・3 4 -T = = 00000 -=90 (通り) (3) 2 20 3 Q T 1つのものを固定して他の ものの順列を考えてもよい。 すなわち, 5個の宝石を1 列に並べる順列と考えて! 一般に、異なるn個のもの からr個取った円順列の Pr 総数は 4+ (1 (2)

赤線で囲った部分は要するに何を言ってるんですか？ それと、赤線で囲ったところの上の式変形、どういう思考回路で出てくるんですか？

た接線 基本 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 x2 田線の接線 q² + y² (②2) 曲線x=et, y=et のt=1に対応する点 Q ttel, a>0, b>0 基本 81 める。 7/2 20 ((1) 楕円 指針 「解答」 (1) 両辺をxで微分し,y'′ を求める。 -=1上の点P(x1, y1) 62 2²2 +22²2 62 接線の傾き=微分係数 まず, 接線の傾きを求める。 dy dt dy dx dx dt y-Vi=- よって =1の両辺をxについて微分すると 2x 2y ゆえに,y=0のときy= 62x a² 62 a'y よって,点Pにおける接線の方程式は,y≠0 のとき 62x1 a²y₁ 点Pは楕円上の点であるから (2) th + •y'=0 dy dx = (2) dy dt dx dt X1X (x-x1) すなわち 2 a² 62 a² 62 y=0のとき, 接線の方程式は y=0のとき, x1 = ±α であり, 接線の方程式は これは ① で x = ±α, y=0 とすると得られる。 したがって 求める接線の方程式は (2) dx = e², dy = =et, dy=e-t²(-2t)=-2te-t² dt dt -2te-t² et + = + X₁² y₁² 2 q² 62 2 yiy x₁² y₁² + =1 X1X Viy 2 62 + t=1のとき de, 1/2) = -2/2 Q(e, dy == dx e² したがって 求める接線の方程式は -=1 [(2) 類 東京理科大 ] /p.142 基本事項 2. 基本 81 x1x yiy a² =-2te-t²-t + =1 62 を利用。 1 x=±α 2 ext y-1---²/(x-e) tah5 y=- すなわち 3 陰関数の導関数につい ては, p.136 を参照。 ただし, a>0 5 両辺に12/12 を掛ける。 傾き b²x₁ a²y₁ -a x=-a yA 3e10 | 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 83 _ (1) 双曲線x2-y2 = d² 上の点P(x1, y1) 0 2 YA b p.137 参照。 2539 O -b P(x1,y1) a x=a -y=-2²/x+³ Q(t=1) 153 EY70 4章 2接線と法線