104.2 実際に記述問題として試験に出てきても （）の中に2枚目の写真のように （a,bは整数で100≦a≦999,0≦b≦999） と書いてもいいのですか？

470 1000000 基本例題 104 倍数の判定法 (1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき,□に入る数をすべて求めよ。 (2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が 7の倍数であるという。 このとき, N は 7の倍数であることを証明せよ。 (例) 869036の場合 869-036833=7×119 であり, 869036=7×124148 [(2) 類 成城大] 指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は, 4376=4000+376=4・1000+8･47 と表される 1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が80 (ただし,000の場合は0とみなす) 倍数であるかどうかに注目する。 (2) Nの表し方がポイント。3桁ごとに2つの数に分けることから, N=1000a+b (100≦q≦999,0≦b≦999) とおいて,Nは7の倍数N=7k(kは整数)を示す。 解答 (1) 口に入る数をα (a は整数, 0≦a≦9) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから 700+10a+6=706+10a=8(a+88) + 2 (a + 1 ) 2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。 よって α+1=4, 8 すなわち α = 3, 7 したがって、□に入る数は 3, 7 (2) N=1000a+6 (a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b ≦999) とおくと,条件から, a-b=7m (mは整数)と表される。 ゆえに, α=6+7m であるから N=1000(b+7m)+b=7(1436+1000m) したがって, N は 7の倍数である。 例えば,987654122 は、 右の図において, (① +③)-②から (987+122)-654=455=7×65 したがって, 987654122は7の倍数である。 練習 ②104 基本事項 706=8・88+2 0≦a≦9のとき 1≦a+1≦10 検討 7の倍数の判定法 上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。 一の位から左へ3桁ごとに区切り、左から奇数番目の区画の 和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。 869036-869000+36 | = 869×1000+36 のように表す。 10016+7000m =7・1436+7・1000m なお,この判定法は, 10°+1=7×143, 10°−1 = 7×142857, 10°+1 = 7×142857143, ことを利用している。 例987654122 3桁ごとに区切ると 987654/122 ①② (1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる このような自然数で最大なものを求め上 (2) 5桁の自然数 ! ②

103.2 記述に問題点等ありますか？

と 素 のの 参照。 倍 や 考え さ の はる 去は、 音数 され 本書 数は して、 含め ・35 きる = 5.7 基本 例題 103 約数と倍数 は0でない整数とする。 a, a 1①1) 1/14/0 a がともに整数であるようなαをすべて求めよ。 とんがともに3の倍数ならば, 7a-46も3の倍数であることを証明せよ。 (2) a (③) a が6の倍数で,かつaが6の約数であるとき,aをbで表せ。 「αが6の倍数である」ことは,「6がαの約数である」 ことと同じであり,このとき, 整数kを用いて a=bk と表される。このことを利用して解いていく。 (1) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。 解答 (1) が整数であるから, αは5の倍数である。 ゆえに, って 40 40 8 a 5k k 40 が整数となるのはんが8の約数のときであるから a k = ±1, ±2, ±4, ±8 α=5kと表される。 を整数として したがって α = ±5, ±10, ±20, ±40 (②) a,bが3の倍数であるから,整数k, lを用いて 0 a=3k, b=3l と表される。 よって 7-46=7・3k-4・3l=3(7k-4l) 7k4lは整数であるから, 7a-4bは3の倍数である。 (3) a が6の倍数, αが6の約数であるから, 整数k, lを用いて a=bk, b=al と表される。 a=bk をb=al に代入し, 変形すると b=0であるから (検討 これは 誤り! b(kl-1)=0 kl=1k,lは整数であるから a=±b したがって 00000 p.468 基本事項 ① k=l=±1 bαの約数 a=bk Laは6の倍数 < =k(kは整数)とおい 5 てもよい。 < α = 5k を代入。 負の約数も考える。 <a =5kにkの値を代入。 整数の和差積は整数で ある｡ α を消去する。 k,lはともに1の約数であ る。 上の解答の で, lを用いずに, 例えば (2) で α=3k, b=3k のように書いてはダメ! これでは α = bとなり, この場合しか証明したことにならない。 α, 6は別々の値をと のようにk, Z (別の文字) を用いて表さなければならない。 る変数であるから, 練習 (1) 2つの整数 α, bに対して, a=bk となる整数kが存在するとき, bla と書く 103 ことにする。 このとき, a 20 かつ2αであるような整数α を求めよ。 証明せよ。 ただし, a, b, c, d は整数とする。 倍数ならば, ' + 62 は8の倍数である。 とげcdはabの約数である。 469 4章 7 約数と倍数 最大公約数と最小公倍数 17 5 O" ON YO 3 7 し

91. 記述に問題点等ないですか？？

例題91 25 D ○ひらがBに垂規OHを下ろすと <OAB = <ABH = 90° F/ OA LAB T 0 A 11 BM 231 AB = OH ; AO = BH = F 7 MOHOT dc. 2. <Otto = 90° = '1 of OH² = 00^- = 25² -112-51 = 25²²-771² 32-18 = 25x2-3² = 8² 3² 28² BM I AB (Zaz" = OHTO より OH=24 AB = OH = ¹ 1 ₁ AB = 2Y & 0+3² 500 € 1 0 2 7 1 Tr. O'HI CD, CO LCD FY OH 4 co bas" Co = DH = 5₁ CD = OH' OH f 二 400' HEJL ZOHO^ = 90° F ( OH ² 00 - ÓH こ > 25² — (12²+5) f 25² - 17² L = 12. P OH 70=1 OH = Y ) = 1 CD = OH F1. CD=x√7 4 DATE

90. 指針の図では四角形ADGEとCDFGが円に内接すると考える解き方が書かれていますが、全ての四角形は円に内接できるのですか？

引き, り立 道大] れぞ の円 。 り, 0 る。 0 う。 ÉÉÉ 重要 例題 90 方べきの定理と等式の証明 |円に内接する四角形 ABCDの辺AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, AD の延 長の交点をFとする。 E, F からこの円に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと するとき,等式 ES2+FT2=EF2 が成り立つことを証明せよ。 指針 左辺の ES', FT" は, 方べきの定理 ES' = EC･ED, FT2=FA･FDに現れる。 しかし,右辺のEF2については同じ ようにはいかないし, 三平方の定理も使えない。 そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。 まず,Eが関係した円として, △ADE の外接円が考えられる。 そして,この円とEF の交点をG とすると, 四角形 DCFG も 円に内接することが示される。 よって、右図の赤い2円に関し, 方べきの定理が使える。 121 METS CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理 [SPLAT 答 方べきの定理から ES2=EC･ED FT"=FA･FD AADE の外接円と EF の交点を G とすると (3) <EGD=∠BAD また、四角形 ABCD は円に内接する から <DCF=∠BAD ③ ④ から ①, ...... ①. ⑤から ②⑥から したがって ∠EGD=∠DCF ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。 ------ よって、方べきの定理から B EC･ED=EF・EG ・・・・・・ FA･FD=FE・FG ⑤, ES2=EF･EG FT'=FE・FG ES2+FT"=EF (EG+FG) = EF2 1253-663101 ☆ T E F B パッ 練習 右の図のように, AB を直径とする円 0 の一方の半円上に 90点をとり、 他の半円上に点Dをとる。 直線AC, BD の S Do <EG+FG=EF D 基本 89 (**) 011000 E 円に内接する四角形の内角 は、その対角の外角に等し い。 SORER O 1つの内角が,その対角の 外角に等しい。 G P の位置関係

89.2 2の解答の図での赤の直線と黒の直線はそれぞれ何を表しているのですか？

442 の 基本例題89 方べきの定理とその逆を利用した証明問題 ①①000 (1) 鋭角三角形ABC の各頂点から対辺に, それぞれ垂線 AD, BE, CF を引き それらの交点(垂心)をHとするとき, AH HD=BH・HE=CH ・HF が成り立 類 広島修道大 つことを証明せよ。 (2) 2点 Q R で交わる2円がある。 直線 QR 上の点Pを通る2円の弦をそれぞ れ AB, CD (または割線を PAB, PCD) とするとき, A, B, C, D1つ 周上にあることを証明せよ。 ただし, A, B, C, D は一直線上にないとする。 440 基本事項 ① ②2 重要90 指針(1) 直角2つで円くなる により, 4点B,C,E,F は1つの円周上にある。 ゆえに, 弦 BE と弦 CF で 方べきの定理 が利用できて BH ・HE=CH・HF 同様にして, AH・HD=BH・HE または AH･HD=CH･HF を示す。 (2) PA･PB=PC・PD ・・・・・・ (*) であることが示されれば, 方べきの定理の逆により、 題意は証明できる。 ! よって, (*)を導くために, 弦AB と弦 QR, 弦 CD と弦 QR で方べきの定理を使う。 ゆるめ 【CHART 接線と割線, 交わる2弦・2割線で方べきの定理 Senpo. 解答 (1) ∠BEC=∠BFC = 90° であるから, 4点B, C, E, F は1つの円周上に ある。 よって, 方べきの定理により BH ・HE = CH・HF (3) 1 TE 同様に, 4点A, B, D, E は 1つの AFB 円周上にあるから AH ・HD=BH ・HE ① ② から (2) 2円について AH ･HD=BH・HE=CH・HF 89 PA・PB=PQ・PR, PC・PD=PQ・PR PA・PB=PC・PD ゆえに よって, A, B, C, D は 1つの円周 上にある。 B A A F C E B C D PBS)5453 14-10-89-12 方べきの定理 直角2つで円くなる D 弦BEと弦CF に注目。 <∠ADB=∠AEB=90° 弦 AD と弦BE に注目。 方べきの定理の逆 (1) 円に内接する四角形 ABCD の対角線の交点EからAD に平行線を引き, 直 線BCとの交点をFとする。 このとき, F から四角形ABCD の外接円に引 た接線FGの長さは線分FFの長さに 7 ( に し

84. 解説６行目からの、 角PRB=90°,角PMB=90°より 4点P,B,M,Rが一つの円周上にある理由がわかりません。

434 00000 基本例題 84 円に内接する四角形の利用 二等辺三角形でない △ABCの辺BCの中点を通りBCに垂直な直線と、 △ABCの外接円との交点を P, Q とする。 P, Q から ABに垂線PR, QS をそ れぞれ引くと, ARMS は直角三角形であることを示せ。 指針> ARMS をかいてみる (解答の図) と, M=90° すなわち ∠R+ ∠S=90° となりそうだが,これを直接示すことは困難。 そこで, 前ページと同様に, かくれた円を見つけ出し, 円周角の定理から等しい角を見つける 方針で進める。 特に, かくれた円をさがすには, 直角2つで四角形は円に内接する こと (右図)を利用するとよい。 CHART 四角形と円 直角2つで円くなる 解答 PQは弦 BC の垂直二等分線であるから, △ABCの外接円の直径で ∠PBQ=90° ゆえに ∠BPM + ∠ BQM=90°•••・・･ 口 ∠PRB=90° ∠PMB=90° であるから, 4点P, B, M, Rは1つの円周上にあっ て ∠BPM=∠BRM 同様に ∠BSQ=90°, ∠BMQ=90° であるから, 4点S, B, Q, Mも1つの円周上にあって ∠BQM=∠RSM B M Q A ① ② ③ から ∠BRM + ∠RSM=90° したがって, ARMSは∠M=90°の直角三角形である。 C 直径を弦とする弧の円周角 は90° 100 X 円周角の定理 基本83 ③は、円に内接する四角形 SBQM の内角と外角の関 係から。 検討 上の例題では,②,③から △PBQSARMS (2角相等) よって ∠RMS=∠PBQ=90° と進めてもよい。 なお、4個以上の点が1つの円周上にあるとき, これらは 共円であるといい。これらの点を 共円点という。上の例題では, 点P, B, M, R; 点 S, B, Q, M がそれぞれ共円点である (p.444 3 も参照)。 ∠A=60°の△ABCの頂点 B C から直線CA, ABに下ろした垂線をそれぞれ 三角形である 練習 3 84 BD, CE とし, 辺BCの中点をMとする。 このとき, ADMFは正三角 ことを示せ。

80.2 「線分ABの垂直二等分線lに関してAと同じ側にあって、直線AB上にない1点をPとすると」 というこの文章からどうやって解答のような図を想像するのですか？？

C ・C は は い 値 三角形の辺と角の大小 基本 例題 80 (1) ∠C=90°の直角三角形 ABCの辺BC上に,頂点と異なる点Pをとると, AP <ABであることを証明せよ。 (②) 線分ABの垂直二等分線ℓに関してAと同じ側にあって,直線AB上にな 1点をPとすると, AP<BP であることを証明せよ。 p.425 基本事項 ② 針三角形において,(辺の大小) (角の大小)が成り立つことを利用する。 (1) AP <AB の代わりに∠B<∠APB を示す。 2つの三角形△ABP と APC に分け て考える。 (2)(1) と同様に,∠PBA <<PAB を示すことを目指す。 l と線分PBとの交点をQとす ると,AQABは二等辺三角形であることに注目。 635 THOSE A CHART 三角形の辺の長さの比較 角の大小にもち込む 解答 (1) △ABCは∠C=90°の直角三角形 であるから ZB<ZC ① △ABP においてBC ∠APB=∠CAP + ∠ C > <C 1 ①② から ∠B << APB」 よって AP <AB (2) 点P, B は l に関して反対側にあるから,線分 PB は ℓ と交わる。その交点を Q とすると, Qは線分PB 上にある (P,Bとは異なる)から <PAB> ∠QAB AQ=BQ また,Qは上にあるから ゆえに ① ② から すなわち よって ... (2) 練習 B P .…..... ∠QAB=∠QBA ∠QBA < ∠PAB ∠PBA <<PAB AP<BP 15* (FOTO)< A ∠C=90° であるから ∠A<90° ∠B <90° 検討 三角形の2辺の大小 上の例題 (2) の結果から, △ABCの2辺AB, ACの長さの大小は,辺 BCの垂直二等分線を利用して判定できることがわかる。つまり 辺BCの垂直二等分線l に関して,点AがBと同じ側にあれば, ABACである。 ∠APB は APCの外角。 C 80+0T+TA ∠B<<C<∠APBから ∠B <∠APB XOL (2) Ado OTAN A B P je M B C wie 200 18 (1) 鈍角三角形の3辺のうち, 鈍角に対する辺が最大であることを証明せよ。 BCの中点をMとする。 AB AC のとき, ∠BAM < ∠CAM p. 429 EX56 427 章 2 三角形の辺と角 12 る 2- $2 た 1数 こ 1 るを O ni 4234

80.1<指針> （辺の大小）⇔（角の大小）が成り立つことを利用するというのは、三角形は辺が大きいほどその辺の対角の大きい、という性質を利用するということですか？

D D A' C C FORE> 音にのばす Fac 形の対辺の長さは ASUA 2辺の長さの和は の長さより大きい STRERT 性質 <e, c<f b+c<d+e+f の値 基本例題80 三角形の辺と角の大小 O MO (1) ∠C=90°の直角三角形ABCの辺BC上に,頂点と異なる点Pをとると, AP <ABであることを証明せよ。 If Yo XO 814. to (2)線分 AB の垂直二等分線ℓに関して A と同じ側にあって,直線 AB 上にな 1点をPとすると, AP<BP であることを証明せよ。 p.425 基本事項 ② 指針 02 (1) AP <AB の代わりに∠B<∠APB を示す。 2つの三角形△ABP と APC に分け て考える。 自分のする (角の大小)が成り立つことを利用する。 三角形において,(辺の大小) (21)と同様に,∠PBA <<PAB を示すことを目指す。 l と線分PBとの交点をQとす ると, △QABは二等辺三角形であることに注目。 635 THORA CHART 三角形の辺の長さの比較 角の大小にもち込む 解答 (1) △ABC は ∠C=90°の直角三角形 であるから ZB<ZCSC. ① △ABP においてABCの内心 ∠APB=∠CAP + <C> <C ∠B<∠APB B <QAB=∠QBA ∠QBA < ∠PAB ∠PBA < < PAB AP<BP 180- 2 A 1 ① ② から よって AP <AB (2)点P,Bはℓに関して反対側にあるから,線分 は l と交わる。その交点を Qとすると, Q は線分 PB 上にある (P, B とは異なる)から 017 ∠PAB > ∠QAB ・・・・・・ AQ=BQ また,Q は ℓ上にあるから ゆえに ①②から すなわち よって ∠C=90° であるから ∠A<90°, ∠B<90° PC 60+04+TA ∠APBは△APCの外角。 <<B<<C<∠APBから <B <∠APB 検討 三角形の2辺の大小 上の例題 (2) の結果から, △ABCの2辺AB, ACの長さの大小は,辺 BC の垂直二等分線を利用して判定できることがわかる。 つまり 辺BCの垂直二等分線lに関して,点AがBと同じ側にあれば, AB < AC である。 (2) ALBA je Yo S XO A P B Q M store. P B 18 争に対する辺が最大であることを証明せよ。 427 3章 12 三角形の辺と角 5 or ev る 5 n

75.1 証明の記述に問題ないですか？

416 00000 基本例題 75 三角形の面積比 (1) ABCの辺AB, AC 上に、それぞれ頂点と異なる点D,Eをとるとき、 △ADE AD AE が成り立つことを証明せよ。 △ABC AB AC (2) △ABCの辺BC, CA, AB を 3:2に内分する点をそれぞれD,E,Fとす る。 △ABCと△DEF の面積の比を求めよ｡ 基本69 指針▷三角形の面積比は, p.410で考えたように等しいもの(高さか底辺)に注目する。 (1) まず, 補助線 CD を引く。 △ADEと△ADC では何が等しいか。 三角形の面積比 等高なら底辺の比, 等底なら高さの比 (2)(1) を利用。△DEF は, △ABCから3つの三角形を除いたものと考える。 2147 解答 (1)2点CDを結ぶ。 △ADEと△ADC は, 底辺をそれぞれ線分 AE, 線分 AC と AADE AE みると,高さが等しいから ① AADC AC △ADCと△ABC は, 底辺をそれぞれ線分 AD, 線分AB と 101=M8 みると,高さが等しいから (2) $080+ MAS = 3 ① ② の辺々を掛けると したがって (21)により AADE AADC △ADC △ABC △ADC AD AABC AB △ADE AD AE △ABC AB AC AAFE AF AE △ABC AB AC ここで 両辺を △ABC で割ると ADEF =1- △ABC . ABDF BD BF △ABC BC BA =1- AEAD 6 6 25 ACAD(*8+"CA)S="MA 37/557/5057/5 32 2|52|52|5 32 AAFE △ABC △ABC 25 25 ゆえに △ABC △DEF = 25:7 ACED CE CD △ABC CA CB ADEF=AABC-AAFE-ABDF-ACED 6 7 25 IP (A))"A+HA 6+$ 25 = 6 EST+CAA-AL/ 25 ABDF ACED 6 25 B D B 2 3 3 E T(98+9A)8=5A+EA D20 AABCHA MAJUSCUL △ABCの辺BC を 2:3に内分する点をDとし、 辺CA を 1:4に内分する点を 練習 2 75 E とする。 また, 辺ABの中点をFとする。 △DEF の面積が14のとき, の面積を求めよ。 (180+0A8 A+S p.418 EX47 △ABC まと 三角 1 B [別ア: ローラ こ (三角 (1) 証 BOF 17 & 証明

問題の質問の仕方的に、 G、O、Hが一直線上にあるのは前提条件だと思ったのですが、証明が必要ですよね。これはどこから証明が必要だと分かりますか？ また、解説内のAG':G'M=AH:OMとHG:OG=AG:GMがあまりピンとこないのでどう考えればいいか教えて欲しいです。

線を 直径 2 質(*) → 半円の 鈍角 つ。 90° の の四 であ 重心・外心・垂心の関係 基本例題 72 00000 |外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から 1:2に内分することを証明せよ。 なお, 正三角形でない △ABCの重心,外心,垂心Hは一直線上にあって重心は 基本例題 71 の結果を利用してもよい。 指針 証明することは,次の [1],[2] である。 [1] 3点G,O,Hが一直線上にある。 これを示すには,直線OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線 AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。 [2] 重心 G が線分 OH を 1:2に内分する,つまり OG:GH=1:2 をいう。 AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 解答 右の図において,直線 OH と△ABCの 中線AMとの交点を G′とする。 AH⊥BC, OM ⊥BCより, AH// OM であるから AG' : G'M = AH : OM =20M OM LD B (G) # O 1 M A GH 1 p.406, 407 基本事項 1 ②2,④4 =2:1AM+SED" TAMは中線であるからGは△ABCの重心G と一致する。 よって,外心,垂心 H, 重心Gは一直線上にあり HG : OG = AG:GM=2:19 すなわち OG:GH=1:2 垂心,外心の性質から。 基本例題 71 の結果から。 検討」 外心,重心,垂心が通る直線 (この例題の直線OH) を オイラー線という。 ただし, 正三角形ではオイラー線は定 義できない。 下の検討 ③ 参 照｡ 【検討】 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係 - ① 外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習72)。 円題歌 ② 重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である (練習70)。 3 正三角形の外心,内心, 重心,垂心は一致する (練習71)。 したがって, 正三角形ではオイ ラー線は定義できない。 F-100 19MAS30* $13 J1 (p.118 EX48, 49 | 練習 ③72 0 は ALMN についてどのような点か。 △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ L, M, N とする。 △ABCの外心 413 3章 1 三角形の辺の比、五心 10 5 る う う。 ある 2-1) つ。 ある 1,2) 数で *ある たと 数は, には, ①へ。 nill 14234 るな を満