解説お願いします。 写真の黄色マーカー部分についてです。 y=0以外に解が存在するのがよく分かりません。 図を見ても解はy=0だけのように見えます。 黄色マーカー部分はどこの解のことを指しているのか教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

国 111円に接する放物線 放物線y= ★★★☆ =1/2x1と円+(-a)=(a>0, r>0)②につ いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め, r をαの式で表せ。 (1) 放物線 ①と円 ②が原点0で接し, かつほかに共有点をもたない (2) 放物線 ①と円 ②が異なる2点で接する。 xについての4次方程式(別解1) 820 >0の解は を消去 1, 2 次数が高い を連立 yについての2次方程式(本解 ) xを消去 次数が低い 共有点2つに対応 対応を考える」 解は共有点のy座標を表す。 y=0の解は 図形は y 軸対称であり, 解と共有点 接点1つに対応 y▲ 思考プロセス の対応は右の図のようになる。 条件の言い換え についての2次方程式が (1)y≧0において,解が y=0 のみ (2)y>0において, 重解をもつ x Action» 円と放物線の共有点は、連立して×を消去せよ 円 解 ①より, x=2y でありy≧0 6 x ② に代入すると 2y+(y-a)2=re xを消去する。 y2+2(1-a)y + (d2-r2) = 0 ③3 (1) 題意を満たすのは, ③が y = 0 を解にもち, y> 0 の範囲に解を y = 0 しか解はない。 もたないときである。 共有点が原点のみである から, y ≧0 においては, また,このとき, グラフ の対称性から, 原点で接 するといえる。 y = 0 が解であるから, a-r2 = 0 a>0, r>0であるから r=a このとき,③は y2+2(1-α)y=0 y{y+2(1-a)}= 0 よって, ③のy = 0 以外の解は y=2(α-1) 2(4-1)≦0 より 0<a≤1 したがって 0<a≦1,r = a ① 2 (α-1) が正であっては いけない。 2(4-1)=0のときも含 まれることに注意する。

解説お願いします。 写真の問題の(イ)赤字の部分に疑問があります。 解説では②の半径から①の半径を引いてますが、①の半径から②の半径を引くのはダメなのかどうか教えてほしいです。Kは整数と書いてないので、例えばKが24.5だった場合、①の半径の方が大きくなると思いました。 ... 続きを読む

例題 1062円の位置関係の原のCSGO 2つの円x+y2=1... ①, x2+y2-6x+8y+k=0 ・・・② が接すると き、定数kの値を求めよ。 条件の言い換え 思考プロセス 円の半径を,r' (rr)とし、 円の中心間の距離をdとすると 「外接」 |内接 2円が外接 d=rtr′ 2円が接する 2円が内接 d=r-r Action» 2円の位置関係は、中心間の距離と半径の和差を比べよ | ①は,原点を中心とし, 半径1の円を表す。 また、②を変形すると (x-3)2 + (y+4) = 25-k ②は円を表すからk<25であり,中心は (3,-4), 半径は25である。 この2つの円の中心間の距離をd とすると d=√32+(-4)=5 (ア) 2つの円が外接するとき 中心間の距離 dが2つの円の半径 3 x の和に一致するから 5=1+√25-k 25-k 010-0 25-k>0より<25 ① の中心は (0, 0) ② の中心は (3,-4) 内接と外接の2つの場合 に分けて考える。 ① の半径を,②の半 径を とすると 外接: d=ntr 内接: d = |n-m| 4 = √25-k 両辺を2乗すると 16= 25-k よって k = 9 これは③を満たす。 (イ) 2つの円が内接するとき 中心間の距離dが2つの円 の半径の差に一致するから 5=√25-k-1 3 x 0 d √25-k 6 = √25-k ... ④ 両辺を2乗しているか ら、解が ③ を満たすかど うか確認する。 A=B⇒A'=B2 は成り立つが、 A2=B2A=B は成り立つとは限らない 両辺を2乗すると 36=25-k よって k = -11 これは④を満たす。 (ア)(イ)より,求めるんの値は k = 9, -11 両辺を2乗しているか ら、解が④を満たすかど うか確認する。

次の問題の青線のところで右と左がよく分からないのですが右の解説？のところを読んでも理解できないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

例題 32 1次不等式の文章題 ★★ 何人かの子どもに果物を配る。 1人に4個ずつ配ると26個余るが, 1人に 9個ずつ配っていくと最後の子どもは果物はもらえるが他の子どもより少 なくなる。 子どもの人数と果物の個数を求めよ。 思考プロセス 未知のものを文字でおく Action》 文章題は, 未知のものをxとおいてその変域に注意せよ 子どもの人数, 果物の個数のどちらかをxとおく。 子どもの人数をxとおく → 果物の個数は4x +26 → x-26 果物の個数をxとおく → 子どもの人数は 4 子どもの人数をxとおいた方が, 簡潔に表すことができる。 解 子どもの人数をx人とおくと, 果物の個数は (4x+26) 個 である。 x は自然数である。 これより 9(x-1) <4x+26<9x 9(x-1) <4x +26 ① すなわち l4x+26<9x ①を解いて x < 7 ③ 26 ②を解いて x> (4) 5 26 ③④より <x<7 5 この不等式を満たす自然数x を求めると このとき, 果物の個数は x = 6 4x+26=4・6+26 = 50 1人に9個ずつ配ると最 後の子どもも果物をもら えるから 9(x-1) <4x+26 最後の子どもは他の子ど もより少ないから 4x+26<9x よって 9x-8≦4x+ 26 ≦ x - 1 としてもよい。 26 = 5.2 であるから, 5 5.2<x<7 を満たす自然 数x 6 したがって 子ども6人、 果物 50個

次の問題で青い線のところで何故=があるのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

αを定数とする。2つの不等式 2(3x-4)-1> -3(2x +11) ... ①, 4x+2a<3x + 2 ... ② をともに満たす整数x がちょうど3個となるようなαの値の範囲を求めよ。 思考のプロセス 《ReAction 連立不等式の解は, 数直線上に表して求めよ 図をかく 例題30) ①は解にαを含まない。 > 「ともに満たす3個の整数x」 を具体的に特定できる。 ② の解を数直線上に表し, αの値がどのような範囲になれば よいか考える。 ともに満たす3個の整数 解 ① より, 6x-9> -6x-33 であるから 12x> 24 両辺を12で割ると x>-2 ★それぞれの不等式の解 求める。 ② より, 4x-3x<2-2αであるから x<2-2a よって, ①,②を同時に満たすx が存在するとき, xの値 の範囲は -2<x<2-2α これを満たす整数xがちょうど3個となるとき, 右の数直線より,その整数は x = -1, 0, 1 よって 1 <2-2a ≦ 2 これより, 求めるαの値の範囲は -2-10 1 2 x 2-2a osa</ 2 数直線を利用して, 3 の整数を具体的に考え 2-2a 1, 2-2a = のときが含まれるかど かに注意する。 Point 参照

次の問題で思考プロセスで行っているところをどこまでのことを言っているのかどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

例題 367 空間における点の一致 ★★★ 四面体 OABC において, △ABC, △OAB, △OBCの重心をそれぞれG1, G2, Gs とすると, 線分 OG1, CG2, AGg は1点で交わることを証明せよ。 段階に分ける 線分 OG1, CG2, AG3 が1点で交わる。 OG と CG2 の交点 D がAG 上にある。 G2 A • G3 I. OG と CGの交点Dの位置ベクトルを求める。 ●G1 II. 点Dが線分AG の内分点であることを示す。 B 思考プロセス 0 《ReAction 2直線の交点の位置ベクトルは, 1次独立なベクトルを用いて2通りに表せ 例題 363) 線分ABの中点をM とする。 点 G1, G2 は, 線分 CM, OM 上にあるから, 線分 OG1 と CG2 は1点Dで交わる。 OG1, CG2 は平面OCM 上の平行でない2つの線 分である。 点 D は線分 OG 上の点であるから OD=rOG=0A+/OB+/OC となる実数 tが存在する。 また, 点Dは線分 CG2 上の点であるから, CD:DG2 = s: (1-s) とすると ・① G25 A M B OD = sOG2 + (1-s) OC = 1 -OA + OB+(1-s) OC OA, OB, OC は同一平面上にないから,①,② より t S t = かつ =1-s 3 3 3 3 よって s=t= 4 ① に代入すると OD = (OA -(OA+OB+OC) = + (OA+3× OB+OC) OA+30Gs 3 1-$ G2 A M B G₁ OG₁ = (OA+OB+OC) 3 OG2=1/23 (OA+OB) OG₁ = (OB+OC) 点D は, 線分 OG1, CG2 3:1に内分する = 4 点D が線分AG 上にあ ることを示したいから, ODOÃOG で表 すことを考える。 よって, 点Dは線分AG を 3:1 に内分する点であるから, 線分 OG1, CG2, AG3 は1点で交わる。 OB+OČ OGg= であ 3 るから,この形をつくる ように変形する。

囲ってあるところの計算方法がわかりません。どなたかお願いします。

題 222 3 次関数のグラフとその接線の共有点 曲線 C:y=x-4x+2x 上の点P (1/3 2727) における接線と曲線Cの 共有点のうち、点P以外の点Qのx座標を求めよ。 « ReAction x=aにおける接線の傾きは,f(a) とせよ 例題 217 「段階的に考える I. 接線の方程式を求める。 II. 接線と曲線 C の方程式を連立して共有点のx座標を求める。 考のプロセス LO 5 章 14 導関数の応用 連立してyを消去した方程式は,x = を重解にもつから (x-1)(x-1)=0 (x-α) = 0 と因数分解できる。 傾き y′ = 3x2-8x +2 より, x= 1/32 のとき = 1/3 よって、 接線の方程式は まず、接線の方程式を 求める。 7 y- 27 1/2(x-1/13) すなわち 1 10 y = x+ 3 27 接線と曲線 C の共有点のx座標は 1 10 x-4x2+2x=-x+ YA 27 P 7 10 x3-4x2+ 0/1 x x- = 0 3 27 x= 13 10 を重解にもつ 2 2 x 1/31) (x-1) 10 = 0 から (12/3)を数 を因数に もつ。 左辺を 10 よって, 点Qのx座標は x_ 3 1/23)(x-1)とおい (別解〕 て、定数項を比較して 点Qのx座標をα とおき, 曲線Cの点Pにおける接線 の方程式を y=mx+n とおく。 α = 10 3 と考えてもよい 接線と曲線 C の方程式を連立すると 3次方程式の解と係数の 関係を用いる方法。 m, n の値を具体的に求めずに αを求めることができる。 x3-4x2+2x=mx+n x3-4x2+(2-m)x-n=0 1 54 例題 この3次方程式の解がx= (重解), αであるから, 3 1 1 解と係数の関係より + +α=4 3 3 10 10 a = より,点Qの x 座標は 3 3次方程式 ax+bx+cx+d=0 の解がα, β, yのとき a+β+y=- b a

この問題の(2)の問題の途中式がなぜAH=AMsinθになるのかが分かりません、、 説明お願いします

-----2 例題 147 空間図形の計量 1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺 BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次の値 を求めよ。 (1) cose (2) 正四面体 ABCDの体積V (3) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R (4)正四面体 ABCD に内接する球の半径r B M A 次元を下げる 底面 高さ (2) V = X ABCD XAH Hはどの位置にあるか? (3) 立体のまま考えるのは難しい。 01 外接球の中心Oが含まれる三角形を抜き出して考える。 Action> 空間図形は, 対称面の切り口を考えよ M H 思考プロセス (4) 四面体の 内接球の 半径の求め方 類推 三角形の 内接円の 半径の求め方 (3) △ABC は, 1辺の長さが2の正三角形であるから AM = √3 (105 ABCD についても同様に考えると DM=√√3 △AMD において, 余弦定理により col. cose (3)+(√3-2° 2.3.3 JAAS 2 # C M 001 1 M H D TUR AM²+DM²-AD cos0= 3 002 2.AM-DM (2)AB=AC=AD=2より頂点Aから底面 BCDに下△ABH=△ACH = AA より BH = CH = DH ろした垂線をAH とすると,点Hは ABCD の外心である。よっては正三角 よって, 点Hは線分 MD 上にあり したがって AH=AMsine AHLMD ここで,0°0<180°より, sind>0であるから 1-(1)-2/2 sin=√1-cos20 2√2 = = 3 ゆえに,AH = √3. 2√2 2√√6 であるから 3 V= ・ABCD ・ AH 8 BCD の外心であるから、 H は BC の垂直二等分線 上にある。 256

次の問題の青い線までは求められるのですが答えがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

平面上に ∠A=90° である △ABC がある。この平面上の点Pが AP.BP+BP.CP+CP AP=0... 1 ① . を満たすとき, 点Pはどのような図形をえがくか。 思考プロセス 基準を定める ① は始点がそろっていない。 基準をAとし, ①の始点をAにそろえ、 図形がわかる P (n) のベクトル方程式を導く。 例 直線:=a+や(n-1)n= 0 の形 円:14や(五一・(第一)=0 の形 . Action》 点Pの軌跡は,P(n) に関するベクトル方程式をつくれ 解AB = 1, AC=c, AP = b とおくと, 基準をAにする。 ∠A=90° より b. c = 0 このとき, ① は 3|D-26・D-2cp=0 3 | b |² - 2 b+c) · b=0 b⋅ (b− b ) + (b − b ) ⋅ ( p − c ) + ( p − c ) ⋅ b = 0 . b. c = 0 2次式の平方完成のよう に考える 1 1 (b+c 3 b+c 2 | b + c | b+c =0 2 よって = 3 3 b+c 例題 332 ここで, で表される点は △ABCの重心Gであるか 3 ②は |GP| = |AG| したがって, 点P は △ABCの重心 Gを中心とし, AG の長さを半径と する円をえがく。 G B M

次の問題で青い線は結局何だったのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス 中心 C(c),半径1の円C上の点A(a) における円の接線lのベクトル方 程式は (a) (bc)=rであることを示せ。 《ReAction 直線のベクトル方程式は, 通る点と方向 (法線) ベクトルを考えよ 例題 345 図で考える A 円Cと接線の関係 CA 17 上の点をPとすると, ベクトル方程式はどのようになるか? 解 接線上の点をP(D) とすると CA⊥AP または AP = 0 よって CA-AP = 0 ゆえに (a-c)·(-a)=0 (a−c) · {( p −c) + (ca)} = 0 P (a–c)·(p-c)+(a−c) · (ca) = 0 (a–c)·(p-c)-a-c2=0 |-2|=|OA-OC|=|CA| =γ であるから, 接線lの ベクトル方程式は (別解) (a–c)·(p-c) = r² -o 63 じる 閉じる 接線上の点をP(D) とすると I CAAP では点Pが 点Aに一致するときを含 めることができない。 証明する式に近づけるた めに b-cをつくる。 (ア) AP = 0 のとき CP = CẢ よって (a–c)·(p-c) = CA.CP = = CA·CA = |CA|² = z² ●|CA| =CA=r (イ) AP = 0 のとき,∠CAP= 90°より (a–c)·(pc) =CẢ-CP A = |CA||CP|cos ACP =CA||CA| =r したがって, 接線のベクトル方程式は (a–c)·(pc) = 3-2 ACP は直角三角形 であるから CP cos ∠ACP = CA

次の問題で何故次の青線の様なことが言えるのでしょうかどなたか解説お願いします🙇‍♂️

xの方程式 4+ (a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が異なる2つの正の解をもつよう な定数 αの値の範囲を求めよ。 (ReAction 文字を置き換えたときは、その文字の範囲を考えよ 例題177) 思考プロセス t = 2x とおく 4°+(a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が 異なる2つの正の解をもつ t°+2(a+1)t+α+ 7 = 0 が どのような解をもつか? 対応を考える 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題179との違い... f(t) = αの形にすると, 式が複雑になることに注意。 解 4+ (a+1)2% +1 + α+7 = 0 ... ① とおく。 例題 174 2 = t とおくと, x>0より t>1であり, ① は 底を2にそろえ, 2 = t とおく。 t▲ t° + 2 (a + 1)t + α + 7 = 0 ..② t=2* ... ここで, t = 2 を満たすx は, t> 1 である tの値1つに 対してx>0であるxの値1つが存在する。 よって, xの方程式 ①が異なる2つの正の解をもつのは、 tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) = f+2(a+1)t + α +7 とおくと, _oy=f(t) のグラフがt軸と t>1の範 囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3] を満たすときである。 YA y=f(t)| -(a+1) 0 1 t [1] f(t) = 0 の判別式をDとすると D> 0 D 4 = (a+1)-(a+7)= d+a-6 a + α-6>0より (a+3)(a-2)>0 よって a <-3, 2 <a [2] y=f(t) の軸が t>1の部分にある。 y = f(t) の軸は t = -(a+1) であるから -(a+1)>1 よって a<-2 [3] f(1) > 0 であるから (4) f(1) =3a+10 > 0 10 よって a>- ・⑤ 3 2次方程式の解と係数の 関係 a+β = -2(a+1) aβ = a +7 を利用して |判別式 D0 (a-1)+(β-1)>0 (a-1) (-1)>0 からαの値の範囲を求め てもよい。 ② を t+2t+7 = α(2t-1) と分離して,y=f+2t+7 とy=α(-2t-1) が t > 1 で異なる2つの共 有点をもつようなαの値 の範囲を求めてもよい。 ~⑤ より, 求めるαの値の範囲は 10 <a<-3 3 10 -2 2 3 -3