問 16 相加平均・相乗平均(2)
b, bz, bs を正の実数とする. α=bi, a2=bz, a3=b3 としたとき
a+a2+as_araz2d3
3
となる. したがって
atatasana2a3
3
(01+b2+63){(61-62)2+(b2-63)2+(63-61) 2}
であり,等号は α=a2=αs のときに限り成立する.
この不等式を用いれば,正の実数a,bに対して
を得る.
4(a²+ab)≥33(a²b)
底面が半径αの円で高さが6の直円柱を考える. 不等式の等号条件から,
表面積を一定にして体積を最大にしたとき,b
である. (慶應義塾大)
a
精講
x+y+23-3.xyz に関する等式は
標問1 (3), 標問27 を参照して下さ
解法のプロセス
相加平均・相乗平均の不等式を
利用する
凸
おきかえの工夫
い。
a1,a2, α3 をどのようにおきかえれば,d+ab
が現れるか考えましょう。 この不等式が直円柱の
体積の最大値を求めるヒントになっています.
a=bi', a2=b23, a3=b33 より
<解答
a1+a2+a3_//asazas=1/2(b+b2+b=-3bibzbs)
3
=1/2(b1+b2+ba) (b^2+b2+bf-bıbz-b2bs-baby)
=1/2 (b2+b2+ba) (bs-b2)+(bz-bs)2+(bs-bì)2}
≥0 ( b, 62, 6 は正の実数 )
したがって,(1+a2+aazanazasであり,等号は
3
b-b2=b2-bs=b-b1=0 のとき
すなわち, a=a2=α3 のときに限り成立する。
この不等式を用いると
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