そもそもs2m、s2m-1に分けて和を求める理由が分かりません。教えて頂きたいです。

重要 例題 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める n 一般項がαn=(-1)+1n2 で与えられる数列{an} に対して, Sn=ak とする。 KI) azk-1+a2k (k=1,2,3, ......) を用いて表せ。 ((2) Sn=(n=1, 2, 3, 指針 ・・・・) と表される。 k=1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。 次のように項を2つずつ区切ってみると Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+...... (2)+( =b1 =b2 =bs 上のように数列{bn} を定めると, bk=a2k-1+azk (kは自然数) である。 よって, m を自然数とすると [1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSm=2bi=(azn-1+aan)として求め られる。 1 [2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam=S2m-1+α2m より S2m-1=Sam-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) A2k-1 1+a2k=(-1)2(2k-1)+(-1)2k+1(2k) 2 =(2k-1)-(2k)²=1-4k 答 (2) [1] n=2mmは自然数)のとき m S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k) k=1 基本 n m= m k=1 m-4.1m(m+1)=-2m²-m 1 であるから -2(2)²=-n(n+1) == [2] n=2m-1 (mは自然数) のとき azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m _n+1 m= m-2 であるから (−1)数=1, (−1) 奇数=-1 ={(2k-1)+2k} x{(2k-1)-2k} Szm=(a1+a2) +(a3+α)+.. +(a2m-1+a2m) Szm=-2m²-mに n =177 を代入して,n m= 2 の式に直す。 S2m=S2m-1+a2m を利用する。 451 1 章 3種々の数列 Sn=2(n+1)_n+1=1/12(n+1)(n+1)-1 2 =(+1) (−1)"+1 [1] [2] から Sn= -n(n+1) n(n+1)* =(-1)+..+8+8+1 S2m-1=2m²-m n o 式に直す。 THAN (*) [1], [2] の Sn の式は 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。

二次関数です、2番と3番の比較なんですが、自分は2番も3番も図で表したとき、解説の赤丸のとこでどちらも3番のような大小で場合分けしました。なのでどうして2番では3番のようなやり方がダメなのか、そもそもどこから2分の1がでてきて使ったのかもわかりません、お願いします🤲

3 1/2x+2ax-a°+4匹... ① がある。 ①の0≦x≦1における最小値をm (a), 2次関数y=- 最大値をM (a) とする。 ただし, aは定数とする。 ス = 2次関数 標準 応用 (1) ①のグラフの軸の方程式を求めよ。 (2) m (a)を求めよ。 また, m (a) の最大値とそのときのαの値を求めよ。 (3)M (a) を求めよ。 また, M(a) =2となるときのαの値を求めよ。 応用 2

この4乗の式の変形を教えてください🙇

4 2 (-1)² + (1+0)² + (1 -^) 9 =1+(2)+(-2) =1-4-4=-7

(2)(ii)です。 ○から_(写真を見てください)につながる理由がわかりません。教えてください。 直前の式変形は理解できました。 わかりにくくてごめんなさい。

MAI penco ® 第2章 複素数と方程式 20 共役複素数 (1) 複素数 α,β について, 次のことを証明せよ. (i) α+B=a+B (i) aß=aB (!!!) a ( ただし, B+0 とする。 =- (iv) α が実数であるための必要十分条件は α=α である. (2) 複素数zに対し, その共役複素数を表す. 4 (i) 複素数 z=x+yi (z, y は実数)が22+2=0 をみたすとき,yを を用いて表せ. 一方,aß=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i . aß=aB a (注)より(11/13) c-di (+½³) = (c + αi) = (c² + a c+di 1. 1 B c-di c+di である. d c²+d2 c²+dzi d 51 一方, 大 (i) 2z+izzの実数倍となるとき, zは22+22=0 をみたすことを示 B, 1 (w) - 1/ B a 1_α よって, ==a. B (iv) αが実数ならば, α =α+0i であり, α=a+0i=a-Oi=a=a (三重大 ) 逆に, α =α ならば, (1) 共役の定義に戻る (右辺) (左辺) または, 両辺を (実部) + (虚部)i の形に変形して, 一致するこ とを示す (2) 共役の基本性質を使う (i) a²=a², a-bi=a+bi より -b=b :.6=0 となりαは実数である. よって, αが実数であるための必要十分条件はα=α である. (2) (i) 22=(x+yi)=x-y'+2xyi であるから, z'+z=2×(z'の実部) =2(x²-y²) であり, z'+z=0 より r-y2=0 .. y=±x (ii) 2z+iz=kz (kは実数) となるとき, (ア) z=0 のとき, '+z=0 は成り立つ. 2z+iz (イ) z=0 のとき, k=- -=2+ 2 Z →精講 (1) 複素数 z= a + bi (a, b は実数) に対して, a-bi をzの共役複素数 といいと表します。 (i)~ (iv)は共役についての 基本性質です。 共役の定義にしたがって, 両辺の 実部, 虚部を比較しましょう. 解法のプロセス (2) (i) aß=aβ において,β=α とおけば, a²=a² また, α+α=(a+bi)+(a-bi)=2α =2x (αの実部) α+α=2x (αの実部) (ii) 実数であるための必要十分条件である(1)iv) (ii) a=α, を使ってみましょう。 αが実数 α =α また,共役の定義より α=α が成り立つこと(+税) も直ちにわかります。 第2章 iz (=k-2)は実数であるから 2 iz - iz より 2 2 -> 2²±²²=0 (12) z=-iz 以上, (ア), (イ)いずれのときも z+2=0 は成り立つ。 4 (xd = (-1)xd ibta 演習問題 解答 −1+√3i 20-1] 2= とするとき, z+z=[ 22= 2 (1) α=a+bi, B=c+di, a, b, c, d は実数で, iは虚数単位とする. ←a=a+bi,B=c+di とおく 1 1 -+- である.ただし, iは虚数単位を表し, はzと共役な複素数 Z 2 (i) a+B=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i =(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=a+B () aβ=(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i =(ac-bd)-(ad+bc)i を表す. (20-2 αを虚部が0でない複素数とする. αの共役な複素数と α2 が等しいと き, αを求めよ. ( 九州歯科大)

高二ベクトル 隣り合う2辺とするというのを書く場合はどんな時ですか？見分け方を教えて下さい

基本 例題 39 ベクトルの終点の存在範囲(2) 647 0000 △OAB に対し, OP = SA+tOBとする。 実数 s, t が次の条件を満たしながら 動くとき,点Pの存在範囲を求めよ。 1 1≦stt≦2, s≧0, t≧0 指針 (2)≦2,0≦ts (1) 基本例題 38 (2)同様, s+t=kとおいてを固定し, OP=OQ+▲OR, 040-90 (1) P.640 基本事項 基本 38 += 1,≧0,≧0 (線分 QR) A の形を導く。 次に,k を動かして線分 QR の動きを見る。 (2)⑩のような形を導くことはできない。そこで、まずsを固定させて」を動かし たときの点Pの描く図形を考える。 S t 1st=k (1≦k≦2) とおくと11+1/2=1.1/20/1/20 k k k (1) 解答 また OP= (OA)+- (kOB) よって, OA=OA', kOB=OB' とすると,kが一定のとき点Pは AB に平行な線分A'B' 上を動く。 kOB ここで, 20A = 0, 20B=OD 110+10 k t k <s+t=kの両辺をkで割る。 S = 1/2=1とおくと B' s't'=1,s', t'≧0 までOP=sOA' + OB' よって 線分A'B' P 1 章 章 ⑤ ベクトル方程式 とすると, 1≦k≦2の範囲でんが 変わるとき,点Pの存在範囲は 0 A A kOA- C 線分A'B' は ABに平行 台形 ACDB の周および内部 に, AB から CD まで動 く。0 (2)sを固定して, OA'=sOA と OP=OA'+tOB すると B C CE ここで, tを0≦t≦1の範囲で 変化させると,点Pは右の図の P <s, tを同時に変化させる と考えにくい。 一方を固 定して考える (tを先に 固定してもよい)。 tОB SOA 線分A'C' 上を動く。 O A AD ただし OC=OA'+OB 次に,sを1≦s≦2の範囲で変化させると, 線分A'C'はs=1のとき 図の線分AC からDEまで平行に動く。本の国 ただしOCOA +OB,OD=20A, OE OD+ よって、点Pの存在範囲は OA+OB=OC.20A=OD, 20A+OB=OE とすると, 平行四辺形ADEC の周および内部 別解 (2)-11 から s-1=s' とすると OP = (s'+1)OA そこで,OQ=sOA+tOB とおくと, 0s', OP=OA+tOB → 線分AC 上 とき A+tOB 分DE 上。 → +tOB)+ か 四辺形 よび内部にある。 OP=OQ+OA から、点P である。 平行四辺

黄色の線を引いたところがよくわからないです。どういう事を説明しているのですか？

基本 例題 76 定点を通る直線の方程式 共・共 0000 直線 (4k-3)y= (3k-1)x-1.... ① は, 実数んの値にかかわらず,定 を通ることを示し,この点Aの座標を求めよ。 ことを証明せよ 基本 例題 77 2直線の 2直線 2x+3y=7 直線の方程式を求めよ。 ① CHART & SOLUTION どんなんについても成り立つ kについての恒等式 方針② 方針① kについて整理して係数比較 (←係数比較法) に適当な値を代入 (←数値代入法) E の値にかかわらず通る→kの値にかかわらず直線の式が成立 →kについての恒等式 p.36 基本例題18で学習した恒等式の問題解法の方針で解いてみよう。 CHART & SOLUTION 2直線 f(x,y)=0,g(x 方程式 kf(x,y) +g ↑xyで表さ 問題の条件は2つある。 [1] 2直線 ①,② の そこで,まず, ① ② の交 る (条件[2]) ようにする。 解答 ALORS A 交 方針① 直線の方程式をんについて整理すると (3x-4y)k- (x-3y+1)=0 解答 ・①' 係数比較法 ①' が実数kの恒等式となるための条件は kf+g = 0 がんの個 式=0.9=0 inf. 次の基本例題77で 3x-4y=0, x-3y+1=0 これを解いて x = 1/1, y = 35 4 3+* 2007 (ε-x) 5' 5 程式は、 このとき, ①'はんの値にかかわらず成り立つ。 学習するように,'は、 3x-4y=0, x3y+1=0 の交点を よって, ①'はんの値にかかわらず定点 A 方針② k=0 のとき, ①は A(1,2)を通る。直線を表すから、これら (4·0-3)y=(3・0-1)x-1 (4・1-3)y=(3・1-1)x-1 整理すると x-3y+1=0 k=1 のとき, ① は 整理すると ② 直線の交点が定点Aである 02-1 数値代入法 に適当な値を代入 x,yの係数を0にする を定数とするとき ③は, 2直線 ① ② る直線を表す。 k(2x+3y-7)+(4x- ③が,点 (54) を ③に x = 5, y=4 15k+45 これを③に代入す 整理すると x- INFORMATION

(4)の答えが√1729/4√10なんですけど、有理化しなくていいのですか？教えてください。

ここで,sinD=sin(180°-B)=sinB だから S=21sinB=6v10 (4) 四角形ABCD の外接円の半径は △ABCの外接円の半径と一致するので, 正弦定理より, AC 247 7 R= √1729 = = 2sin B V 7 2.2/10 4√10 合

矢印つけたところでtanが出てくる理由が分かりません。面積求める時ってtanで求められるんですか？

重要 例題 157 円周率に関する不等式の証明 00000 | =3.14･･････は使用しないこととする。 円周率に関して, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 ただし, 3√6-3√2<x<24-12√3 5 加法定理 (大分大] ・基本150 Ain Me 000 指針 各辺の差を考える方法では証明できそうにない。 そこで,各辺に同じ数を掛けたり, 各辺を同じ数で割ることを考えてみる。 各辺を12で割ると 4 12 <<2-√ √6-√2 <2-ここで、 は p.243 基本 例題150 (1) で求めた sin 15° の値であることをヒントに、下の解答のような, 中心角 が π 12 の扇形に注目した、図形の面積比較が浮上する。 π 点0 を中心とする半径1の円において, 中心角が 解答 12 の扇形 OAB を考える。 (0) 点Aにおける円の接線と直線 OB の交点をCとすると, 面積について 京 定理から △OAB <扇形 OAB < △OAC 72 B tan 12 ゆえに (2 1/12/12 sin sinle 12 1/2.1. π ・12. ・1・tan 12 12 π よって sin <<tan 12 π 扇形の面積がπを含む数 になることも,面積比較の 方法が有効な理由の1つ。 ま ここでsin (大体論文) tan 吹 加法定理 サ tan 172=tan (1-7)= π 4 ゆえに 5+1 12 12 in1=sin (4) =sin / cos / cos 4 sin 4 π 4 π _tan- 6 π 1+tan 4 tan π 6 6 大 1+1・ 1 √3√3-1 == 1√3 +1 (S) √6-√2-√3 すなわち 3√6-3√2 <<24-12√3 < 4 12 0680-0 la 3.106 ≒3.215 800 - 加法定理 π √6-√2 - re 4 √3-1-2-√3 (1)

数cベクトル 1と1-tを入れ替えても方程式は得られると思うのですが、⭐︎の部分の答えがかわってしまいます、-5t+2、6t-4でも⭕️ですか？

する(s, tは実 ると 基本 例題 34 直線のベクトル方程式, 媒介変数表示 (1) 3点A(a),B(b),C(c) を頂点とする △ABC がある。 辺 AB を2:3に内 分する点Mを通り,辺ACに平行な直線のベクトル方程式を求めよ。 - (2) (ア) 2点 (-3, 2), (2,-4) を通る直線の方程式を媒介変数を用いて表せ。 (イ)(ア)で求めた直線の方程式を, tを消去した形で表せ。 完針 (1) 定点A(a)を通り, 方向ベクトルの直線のベクトル方程式は p=a+tà P.639 基本事項 1 ここでは,Mを定点, ACを方向ベクトルとみて、この式にあてはめる (結果は a, も および媒介変数を含む式となる)。 (2)ア)2点A(a),B(b) を通る直線のベクトル方程式は p=(1-t)a+tb =(x,y), a = (-3, 2) = (24) とみて,これを成分で表す。 (1)直線上の任意の点をP(b) とし, tを媒介変数とする。 t=-1 解答 M(m) とすると m= 3a+26 P(p) 5 A(a) 27 kb 辺 ACに平行な直線の方向ベクトルはACであるから (+0円 M(m) t=0c-a 3 P NB b=m+tAC=3a+2 +t(c-a) 5 B(b) t=1 -t 一動く。 整理して = (1/23tat/236+ctは媒介変数) 3a+26 5 Ap= +t(c-a) 5 (2)2点(-3,2) (2,-4) を通る直線上の任意の点 の座標を (x, y) とすると (8) でもよい。 P (x,y)=1-2(-3,2) (2,-4) =(-3(1-t)+2t, 2(1-t) -4t) =(5t-3, -6t+2) x=5t-3 (S)- P(x, y), A(-3, 2), B(2,-4) とすると, SOP=(1-t)OA+tOB と同じこと (O は原点)。 各成分を比較。 34 よって (イ) x=5t-3 (tは媒介変数) y=-6t+2 ①, y=-6t+2 ② とする。 A tを消去。 ① ×6+② ×5 から 6x+5y+8=0 数学IIの問題として、(2)を解くと、2点(3,2) (2,-4) を通る直線の方程式は, y-2=-4-2 (x+3) から 2+3 6x+5y+8=0 (1)△ABCにおいて, A(a),B(L),C(c) とする。 M を辺BCの中点とするとき 直線AMのベクトル

恒等式の問題で、なぜx＝0,1,−1を代入するのですか？教えて下さい🙇‍♂️

◆8 恒等式・ (ア) 恒等式 +7.2-3-23-14 =a+bx+cx(x-1)+dx(x-1)(x-2)+ex (x-1)(x-2) (x-3) が成り立つとき,定数ae の値を求めよ. (九州産大・情報科学, 工) (イ) 次の式がxについての恒等式になるように, 定数a, b, c の値を定めなさい. x3+2x2+1=(x-1)3+α(x-1)2+6 (x-1)+c ( 流通科学大) (ウ) x+y=1を満たすx, yについて, ax2+bxy+cy2=1が常に成り立つように a, b, c を定めよ. (龍谷大理工 (推薦)) 係数比較法と数値代入法 多項式f(x) g (x) について, f(x) =g(x) が恒等式になる条件を とらえる主な方法は,次の1と2の2つである. 1 f(x) g (x)の同じ次数の項の係数がすべて等しい. ② f(x), g(x) の (見かけの) 次数の高い方を次式とするとき, 異なる n +1個の値に対して, f(x) =g(x) が成り立つ. xpで展開 (イ)の右辺を 「æ-1について展開した式」 というが, どんな多項式もかについ て展開した式として表すことができる。 この形にすれば (x-p) で割った余りなどがすぐに分かる. (イ) を右辺の形にするには,左辺の各項を,r={(x-1)+1}' などとして展開すればよい. 等式の条件 1文字を消去するのが原則である(本シリーズ 数Ⅰ p.16). 解答(分) (ア) 与式の両辺にx=0を代入して, a=-14. αを移項し両辺をxで割って, 3+7x2-3-23 =b+c(x-1)+d(x−1)(x-2)+e(x−1)(x-2) (x-3) ............. 両辺にx=1,2,3,0を代入して, -18=b,7=6+c, 58= 6+2c+2d, -23=b-c+2d-6e ∴.6=-18,c=25, d=13, e=1 (イ) x3+2x2+1={(x-1)+1}+2{(x-1)+1}2+1 ={(x-1)+3(x-1)2+3(x-1)+1}+2{(x-1)2+2(x-1)+1}+1 =(x-1)3+5(r-1)2+7 (x-1)+4 (=5, 6=7,c=4) (ウ) y=1-xであるから, ax2+bx (1-x)+c(1-x)=1 これがェによらず成り立つから, æ = 0,1,-1を代入して c=1, a=1, α-26+4c=1 a=1, c=1, b=2)+ (1)にπ=1を代入しを左に移し両辺をx-1 で割る. '代入'と '割り算” を繰り返して求めることもできる. 注 (イ) 与式にx=1を代入し, c=4. 両辺をxで微分して 32+4x=3(x-1)2+2a(x-1)+b.x=1 を代入し, b=7.(以下略) 多項式の恒等式が両辺ともにx を因数に持てば、両辺をェで割っ た式も恒等式. e=1であることは、 元の式の両 辺のx4の係数を比べることでも 分かる。 このような考察をして ミスを防ごう. )(x+y=1となる. 次にx=2を代入してcを求め, c を移項して2で割る. '代入”と“微分”を繰り返して 求めることもできる. (+税) 8 演習題(解答は p.27) - (ア) すべてのに対して,-32+7=α(x-2)3+b(x-2)+c(x-2) +dとなる 数a, b, c, d を求めよ. (福島大 共生システム理工) (イ)x3y-z3, x+y+z=-5を満たすx, y, zのすべての値に対して ax2+2by2+cz'=24が成り立つとき,a=,b=,c= である. 2 (イ) 等式の条件を扱う 本日) (京都先端科学大・バイオ) 基本は? 15