極限の問題です。 この赤丸の部分はどうやったら出るのでしょうか？

Think 例題14 はさみ x 次の問いに答えよ. を求めよ. (1) 極限値lim n mk(k+1) 00 (2) 極限値 limon² 00 2月 (2k-1)(2k+1). 2n (3)(12)の結果を利用して、極限値 lim (12/21) k+1} を求めよ. 11-0 を求めよ. (東京理科大 1 考え方 (1) k(k+1) kk+1 wwwwww と部分分数に分解して考える. (2) (2k-1)(2k+1) 122 2k-1 2k+1/ と部分分数に分解して考える. (3) は(1)のように部分分数に分解することはできない (1)の結果を利用することを考えると,3つの極限値は, 2月 lim nΣ- 1178 1 in (kの多項式)] という式になっている. 1 そこで, k≧1 のとき, (k+1)' (2k-1)(2k+1)'k2 の分母に着目するとでる LE SI mi 1130 0 k(k+1)=k+k>k (2k-1)(2k+1)=4k²-1<4k であるから, 0<—(4k²−1) <k² <k²+k という大小関係であることがわかる. すなわち, 01 (2k-1)(2k+1kkk+1)より. 辺々の逆数をとると 4 0<- k-1) (2k k(k+1)k(2k-1)(2k+1) という関係を導くことができる. この関係式と (1) で求めた極限値を利用する. tim

どうして0以上だと言えるのか教えてください🙏

基本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 不 000000 次の不等式を証明せよ。 (1)|a+6|≦|a|+|6| 立 (2)|a|-|6|≦1a-b 左 (S) p.42 基本事項 4 基本28 CHART & THINKING 似た問題 1 結果を使う MONTUO 2 TRAHE ②方法をまねる (1) 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 A=A2 を利用すると, 絶 対値の処理が容易になる。 よって,平方の差を作ればよい (2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから、平方の差を作る方針は手間がかかり そうである(別解 参照)。 そこで,不等式を変形すると |a|≦|a-61+16 (1) と似た形になることに着目。 ← ①の方針で考えられそうだが,どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? 解答 (1) (|a|+|6|2-la+b= (al+2|a||6|+|6|2)-(a+b) A≧0 のとき (1) |-|A|≦A=|A| 0 -|A|=A<|A| 合 a²+2|ab|+62-(a²+2ab+b²) =2(labl-ab)≧0 ...... (*) 0 よって la +6≦(|a|+|6|)2 であるから,一般に |a+6|≧0,|a|+|6|≧0 であるから |a+6|≦|a|+|6| -|A|≦a≦|A|

この問題の解き方が分からないです。 答えは最大値が5で、最小値が（3√3+4）/2です。 解説お願いします

Think 例題 151 図形への応用 **** 長さ1の線分AB を直径とする円周上の1点をPとし, ∠PAB=0 とする. T0≤ のとき, 3AP+4BPの 最大値と最小値を求めよ. A B

例題33（2）の問題で、6<2a+5≦7のところで、なぜ≦になるのかがわかりません。

60 基本 例題 33 1次不等式の整数解不 00000 (1) 不等式 6x+8(6-x)>7を満たす2桁の自然数xの個数を求めよ。 (2)不等式 5(x-1) <2(2x+α) を満たすxのうちで,最大の整数が6であ るとき, 定数αの値の範囲を求めよ。 CHART & THINKING 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは, 与えられた不等式を解く。 基本 29,32 (1) 2桁の自然数 → x≧10 これと不等式の解を合わせて,条件を満たす整数xの値の 範囲を 10≦x≦n の形に表す。 この不等式を満たす整数の個数は? (2) 不等式の解は x<A の形となる。 数直線上でAの値を変化させ,x<A を満たす最大 の整数が6となるのはAがどのような値の範囲にあるかを 考えよう。 → x=6 は x<A を満たすが, x=7 は x<A を満たさないことが条件となる。 解答 実 (1) 6x+8(6-x) > 7 から 2x>-41 ゆえに x=20 6 A7% 展開して整理。 xは2桁の自然数であるから 10≦x≦20 求める自然数の個数は 不等号の向きが変わる。 2桁 解の吟味。 21 10 11 20 41 2 20-10+1=11 (個) (2)5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5 ① ①を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6<2a+5≦7 Cas ←展開して整理。 eas As 6<2a+5<7 とか 62a+5≦7 などとし ないように。等号の有 無に注意する。 のときである。 ゆえに 1<2a≦2 6 2a+5 7 よって1/12kas1 ①を満たす最大の整数 ← α=1 のとき, 不等式は x<7 で, 条件を満たす。 a = 1/2 のとき,不等式は x<6で,条件を満たさ ない。 PRACTICE 33® 5 9 x+ 1/18 1/3 x - 12/2 を満たす正の奇数xをすべて求めよ。 (1) 不等式 x+ 6 (2) 不等式 5(x-a)≦-2(x-3)を満たす最大の整数が2であるとき、定数αの値の 範囲を求めよ。

（2）の［2］がなぜ解なしになるのかわかりません。

基本 例題 31 文字係数の不等式の導立 αを定数とする。 次の不等式を解け。 (1) ax+2>0 CHART & THINKING 00000 (2) ax-6>2x-3a+x 基本 29 文字係数の不等式 割る数の符号に注意 23 (1) 「ax +20 から ax-2 両辺を4で割ってx2」では誤り! αが正の数のときは上の解答でよいが、負の数のとき不等号の向きはどうなるだろうか? また,a=0 のときは両辺をαで割るということ自体ができない。 不等式 Ax>B を解くときは,A>0,A=0, A<0 で場合分けをする。(2)も同様。 解答 (1) ax+2>0 から ax>-2 [1] α>0 のとき x>- 2 a 不 まず, Ax>B の形に。 次に,A>0,A=0, A<0 で場合分け。 [2] a=0 のとき,不等式 0x>-2 はすべての実数xa=0 のときは,不等式 に対して成り立つから,解はすべての実数。 2 [3] α < 0 のとき x<- a (2) ax-6>2x-3α から よって ax-2x>-3a +6 (a-2)x>-3(a-2) > に a=0 を代入して検討 する。 すべての実数x に対して 0·x=0 である。 [1] a-2>0 すなわち>2 のとき 両辺を正の数 α-2で割って x>-3 [2] α-2=0 すなわち α=2のとき 不等式 0x>-30 には解はない。 [3] α-2<0 すなわち a < 2 のとき 両辺を負の数 α-2で割って x <-3 α-2は正の数なので, 不等号の向きはそのまま。 の向 ← α-2は負の数なので, 不等号の向きは逆になる。 INFORMATION 不等式 Ax > B の解 B 不等号の向き [1] A >0 のとき x> A は変わらない 例 [2] A=0 のとき B≧0 ならば解はない 0.x>5 解はない B<0 ならば解はすべての実数 0•x>0 解はない [3] A<0 のとき x <- B 不等号の向き A が逆になる 注意 不等式が Ax≧B の場合は, A= 0 のとき 0.x> -5 ・・・ 解はすべて 「B>0」ならば解はない, 「B≦0」 ならば解はすべての実数となる。 ③ PRACTICE 31Ⓡ αを定数とする。 次の不等式を解け。 の実数 (1) ax-1>0 (2) x-2>2a-ax

(2)の問題なんですが、解説のS=2分の1から始まる部分がどうしてこれらの数字をかけあわせてるのか分かりません。教えて頂きたいです🙇‍♀️🙇‍♀️

154 第3章 図形と方程式 Think 例題 82 三角形の面積の最大・最小面 考え方 **** (1)3直線2x-y=0,5x+2y-18=0, x-5y-9=0によって作られ る三角形の面積を求めよ. 2 (2)3直線 l:y=2x+2,m:y=-x+2,n:y=ax がある.eとm の交点をA.lとnの交点をB, m とnの交点をCとするとき、 △ABCの面積Sの最小値を求めよ。ただし,-1<a<2 とする. (1) の声蛸トへて作られる三角形け 右の図のように 5x+2y-18=02-

この問題の解説が分かりません。 質問の仕方がうまく思いつかなくて紙に書きました。 見にくいかもしれませんが教えて頂きたいです🙇‍♀️

Think 例題 B1.37 漸化式 an+1=fa **** a=1, (n+3)an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 am を求めよ. 解答 -1 漸化式は an+1=- 考え方 n -α n+3 5am と変形できて、f(n)=- n とおくと an+1=f(n)am となる. ここで, n+3 衣大 an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)=f(n)f(n-1) (fn-2annel これをくり返すと、 an+1=f(n)f(n-1)f(n-2)......f (1)ai 解答 -2 漸化式の両辺に (n+2)(n+1) を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1= (n+2) (n+1)na, となる. 第8 b=(n+2)(n+1)na, とおくと, この式は bm+1= b となる. n 0 解答 -1 漸化式を変形して、 n an+1= an ......1 n+3 このとき, a2=1+30 1 1 a1 = 4 2 2 1 1-28 低いるた た 山 を考える I a3= a2 a 2+3 2+31 +3 100 n≧4 のとき, ①をくり返し用いると, 30 n-1.n-2.n-3.n-4 n an= n+2n+1 n n-T 4321 7634 a1 an- 21) (I-.d) 3 2 1 6 • = n+2 n+1n n(n+1)(n+2) -1= この式は n=1,2,3のときも成り立つ. 6 よって an= n(n+1)(n+2) であり - = n-1 n+2 分が同じ形に -an-1 n-1 n-2 n+2n+1 -an-2 a=1st (p. Bl

空間ベクトルの問題です。解答のこれよりって書いてある式をどう出せばいいのかわかりません。

Think 例題 C1.62 2 平面のなす角 2つの平面 α:2x+y-z=3,β:x-y-2z=3 について、次の問いに答えよ. (1) α. β のなす角 90°0 90°) と交線の方程式を求めよ. *** (2)点A(3.2.1)を通り、2平面α. βに垂直な平面の方程式を求 めよ. 交線に垂 (1

どうしてa-1を消去するとダメなのでしょうか？

Think 例題 55 文字係数の方程式 a を定数とするとき, 次の方程式を解け. (1) ax²-(a+1)x+1=0 考え方 文字係数を含む方程式を解く問題. 平 **** (2) (a2-1)x2=a-1 p.68 の例題 29 文字係数の不等式と同様に考える. つまり, 見かけ上の最高次の項の 係数が0の場合とそうでない場合を分けて考える。 たとえば, (1) では, x2 の係数 αに着目すると, a=0 のとき, -x+1=0 となり, 1次方程式となる. a≠0 のとき, ax²-(a+1)x+1=0 の2次方程式を考える. 解答 (1) (i) a=0 のとき x2の係数が0のとき, もとの方程式は, -x+1=0 より x=1 x2の項がなくなるの (ii) α = 0 のとき ax2+(-a-1)x+1=0 で,xの1次方程式に なる. (x-1)(ax-1)=0 より 1 x=1, -1→ - a a a -1→ -1 よって, a=0 のとき, x=1 -a-1 a=0 のとき, x=1, a (2) (a-1)(a+1)x2=a-la-lを消しちゃダメ! (i) a=1 のとき もとの方程式は, 0⚫x2=0 このとき,xはすべての実数 (ii) α=-1のとき もとの方程式は, 0.x2=2 これを満たすxは存在しないので,解なし () αキ±1 のとき a2-10 から, 両辺を2-1で割って x²= 1 a+1 a=1のとき, xがど のような値であっても, 0.x=0 は成り立つ. a=−1 のとき, xに どのような値を入れて も.0.x=-2が成り 立たない. a-1 a²-1 a-1 (a+1)(a-1) α>−1 のとき, x=± 1 Va+1 =+ _va+I a+1 1 ->0より, a+1 a+1>0 よって, (込) -1 のとき,解なし a=1のとき,xはすべての実数つまり,α> 1 a≦-1 のとき,解なし -1<a<1,1<α のとき,x=Ya+1 2次方程式のズの係数が0かどうか (i) a=0 or (ii) a0 (x=( ) a+1 ) キ 0 に注意 株 ( )が0かどうか分からない =0 を解け . p.168 14 第 2 章

1×５×4をするのはなぜなのか教えてください！よろしくお願いします🙇‍♀️

336 第6章 場合の数 Think 例題 164 整数を作る問題(2) 012345 から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき, 異なる整数の和はいくつになるか. [考え方 3桁の数は,百, 十, 一の位の数を a, b, c とすると, 100α+106 + c と表すことがで きる. たとえば, 123 の場合, 100×1+10×2+3 と表すことができる. このことから, 各位で0~5の数は何回使われているか を考えてみる. 百の位が1となる3 桁の整数は,右のよ うに20個あるから, 百の位で「1」は20 回使われている. 同 様に, 2, 3, 4, 5も百 の位では20回使われ ている. 1-0 回 1-2 1-3 回 1-4k 回 1-5< 3回 245 このことから,百の位だけに着目すると, 100 + … +100 +200+ … + 200+ 300+ … +300+400+ +400+500+ +500 20個 20個 20個 = 100×20+200×20+300×20+ 400×20 +500 ×20 20個 20個 =100×(1+2+3+4+5)×20 となる. 十の位,一の位も同様に考える. 解答 12345からはじまる数はそれぞれ, 1×5×4=20 (個) ずつある. 回 よって, 百の位には1~5の数字が各20回ずつ現れる. 十の位には, 0の数字が合計20回, 1~5の数字が各16回 ずつ現れる。 一の位も十の位と同様である. したがって, 100×(1+2+3+4+5)×20 百の位」 M + 10×(1+2+3+4+5)×16... 十の位 M +1×(1+2+3+4+5)×16......一の位 =(1+2+3+4+5)×(2000+160+16) =15×2176=32640 よって, 求める和は, 32640 百の位が1の場合, 十の位に2が現れる のは4回 百の位が 345 も同様に, 十 の位に2が現れるの は4回なので,合計 16 回 0 は省略している.