31と32の解き方の違いを教えて下さい🙇‍♀️

基本20 重 62 基本 例題31 2つの無限等比級数の和 ①① 無限級数 (1-1/2)+(1/2-2/21)+(1/3/3-2/17)+ +...... の和を求めよ。 p.54 基本事項 CHART & SOLUTION 無限級数 まず部分和 Sm nom この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから,頃の順序 を変えて和を求めてよい。 [注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。 別解 無限級数 Σan, 20m がともに収束するとき n=1 n=1 (a+b)=an+26m が成り立つことを利用。 n=1 n=1 n=1 解答 初項から第n項までの部分和を Sn とすると Sn=(1+1/+1/28++g/1)-(12/2+2/23+ ......+ 1-(1/1)/1-(1/2)"} +...+ 2n 2/2/2) Sは有限個の和であ から、左のように 変えて計算しても 3 1 1 1- 1 3 20 3 lim Sn 1-2 n→∞ 別解 n=1 00 S=1221-1-1/2 であるから,求める和は (1-1/2)+(1/3-2/2)+(3/2-2/23)+ 00 n=1 1 3n-1 2n 1 は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、 3n- 2/1/17は初項 1/12公比 1/12 の無限等比級数である。 <1 公について/12/1 であるから,これらの無 限級数はともに収束して, それぞれの和は -0+0= ( n→∞のとき 0, [inf.] 無限等比級数の収束 α=0 または |r|<] このときは 1- ◆収束を確認する 8 1 1 3 00 = 2 3n-1 n=13 = 1 2' 1 n=1 2n =1 3 1- 2 00 よって 1 3 2n-1 n=1 2" -1= PRACTICE 31° 次の無限級数の和を求めよ。 (1)(1+1/+1/+1)+(1/+1)+ 23 +... 32 33 2 (2) 33-2, 3-2 3-2

⑵において x=-2で不連続にはならないのですか？

10 重要 例題 57 級数で表された関数のグラフの連続性 x x x 無限級数 x+ 1+x (1+x)2 + ++ について (1+x)-1 00000 (1)この無限級数が収束するようなxの値の範囲を求めよ。 (2)xが(1)の範囲にあるとき,この無限級数の和を f(x) とする。 関数 y=f(x) のグラフをかき, その連続性について調べよ。 a=0 または |r|<1 基本 36,56 指針 無限等比級数atar +are +.....の収束条件は a 収束するとき, 和は a = 0 なら 0, αキ 0 なら 1-r (2)まず, f(x) を求める。 次に, グラフをかいて,連続性を調べる。 なお,関数 y=f(x)の定義域は,この無限級数が収束するようなxの値の範囲[(1) で求めた範囲] である。 (1)この無限級数は,初項 x, 公 解答 比 の無限等比級数である。 1+x 収束するための条件はx=0 ■ ( 初項) = 0 ↓では ・1 O x または-1<x<1 ... ① -1<(公比)<1 ない! ・1 不等式① の解は, 右の図から x<-2,0<x 1 <y= 1 1+x のグラフと y= 1+x よって, 求めるxの値の範囲は x<-2,0≦x (2) 和について x=0のとき f(x)=0 x<-2,0<xのとき 直線 y= 1, y=-1の上 下関係に注目して解く。 なお, ① の各辺に (1+x) (0) を掛けた -(1+x)²<1+x<(1+x)² を解いてもよい。 (初) 1 - (公比) -2-10-(mil y=1+x x 連続性は定義域で考える ことに注意。 −2≦x<0 f(x)は定義されない から,この範囲で連続性 を調べても無意味である x f(x)= =1+x 1. 1- 1+x 関数 y=f(x)の定義域は 0 x<-2,0≦xで, グラフは右 の図のようになる。 よって x<-2,0<xで連続; x=0で不連続 練習 次の無限級数が収市す 91-2はちがうのか? f(r)のグラス

（2）の公比はなぜこうなるのですか？

n (2) 無限級数 NT n=113 2 2 (1/3) sin " の和を求めよ。 指針 00 [(2) 愛知工大] P.64 基本事項 1 無限等比級数 Σarn-l=atartare+... の収束条件は a=0 または |r|<1 n=1 [1] a=0, |r|<1のとき 収束して,和は a 1-r 解答 [2] a=0 のとき 収束して,和は 0 (1)公比が|r|<1, r|≧1のどちらであるかをまず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束, 発散 公比 ±1が分かれ目 (1) (ア)初は√3, 公比はr=√3 で, r>1であるから,発散する。 (イ)初項は4,公比はr= 2/3で,|r|<1であるから、収束する。 は 4 == 8 1-(-1/2)2+√3 (2)自然数とすると n=2k-1のとき nπ 4 = 2 8(2-√3) (2+√3)(2-√3) -=8(2-√3) == sin =sin(kx-7)= 2 =sinkx=0 -coskπ=(-1)+1 nπ 2 0 (初項) 1 - (公比 ) まず sin がどのよう な値をとるかを nが奇 数・偶数の場合に分けて 調べる。 んが整数のとき n=2kのとき sin m 2 よって, 数列{ // 'sin 7/7 n NT は 2 1 (kが偶数 COS kπ= -1 (奇数 (1) 1 3 11, 0, -33, 0, 1, 0, -37 1 35 80 n となる。ゆえに、 (1/3) 'sin " は初項 2 1 公比 無限等比数列 13 n=13 3' 1 ***** 32 12 の無限等比級数であり,公比rは|r| <1であるか の和とみる。 35 1 1 3 ら収束する。 その和は • (初項) 1 - (公比) 3 1 10 32

（２）はなんで定義域が実数全体なのか分かりません。勿論ながら連続の判断の仕方も分かりません💦教えてください🙇🙇

STEP B □ 111 次の関数 f(x)の定義域をいえ。 また, 定義域における連続性について調べよ 1 (1) f(x)=- x2-1 x+1 *(2) f(x)=x-[x]

数3の無限級数についての質問です 61(1)の解答冒頭の 1/3n-1－1/3n+2と変形できると書いてあるのですが なぜこの形に変形できるのでしょうか？

ゴ 61 次の無限級数の収束, 発散について調べ, 収束するときは和を求めよ。 80 00 3 (1) Σ (2) Σ 1 (3n-1)(3n+2) =√3n+1+√3n-2 ] 62 次 無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束するものについてはその和 68 次の 求め、 (1) P.33m (2) 69 無料 026 3 無限級数 本編p. より 31 1 61 (1) (3n-1)(3n+2) 3n-1 3n+2 と変形できるから,初項から第n項までの n→∞o a-2a 3-2-1-1. 21 よってS(1-.pl).d 1 n→∞ 3 limSlim (√3n+1-1)= S=Σ 部分和を S, とすると n 3 -1 (3k-1)(3k+2) ゆえに、この無限級数は発散する れば n = Σ (3k-13k+2)の1次方翻式 -(11)+(1-1)+(21) 8 tr=13 62 (1) 初3,公比r= ||<1であるから収束し ③ ④ より その和は 3 = 9 1 2 3 I+. で, (2) +: 1 1 mil- 2 3n-1 3n+2/ (2)初項 3,公比r=- で, 3 1 3n+2 よって limS=lim n→∞ /11 \ 1 ゆえに、この無限級数は収束し その和は 2\ 5 1- ||<1であるから収束し 39 3. n→002 3n+2/ 2 (3)初項 その和は 1/2である。 1 2√3 公比r=√2で. r≧1であるから発散する。 (4)初項 -5,公比r=-1で, ≧1であるから発散する。

【数列の極限】青いところで囲んだところが、どうなってその式になったか想像できません、分かりません。教えてください！お願いします

第1節 数列の極限 23 *63 第2項が3である無限等比級数が収束し, その和が-4であるとき, 初項と公 比を求めよ。

(ⅱ)のこれより以降の変形がわからないです🥲

(2) (i) 右図の斜線部分の三角比により, (n+1+rn): (rn-rn+1)=√10 : 1 rn+1+rn=√10rn-√10n+1 (√10+1)rn+1=(√10-1)rn 10-1 n+1= -rn √10+1 11-2/10 Tx+1= (3) (答) 9 (i)(i)より,r=3(11-2/10 n-1 これより 161-44/10 n-1 Sn=πrm2=9 81 =97 161-44/10 n-1 81 161-44/10 ここで,0 81 n=1 Sn=9 n=1 An 2-0 A+1 0n+1 +1 Y Yn+1 X Hn+1 IH <1 より, 無限等比級数は収束する. 161-44/10 \n-1 9π 81 161-44/10 1- 81 729T 44/10-80 9 (11/10+20) 40 (答) 10 261

数3の無限級数です。1/２や１/３で全体を括る理由が分かりません。 2️⃣3️⃣は掛け算で１/２、１/３ずつ増えてるから、全体にくくる感じなのかなと思っていたのですが、4️⃣を見ると足し算なのに１/３で括っていて混乱しています。教えてください

( COSS STEPA □53 次の無限級数の収束, 発散について調べ, 収束する場合は,その和を求めよ。 ¥69 3 3 (1)(12-1)+(-1)+(1/1) (712) 3 *(2) 1/144 + n n+1` + + +・ 3 4 5 n+1 n+2, 1 1 ・+・ ・+ +· 4.7 7・10 (3n-2)(3n+1) 1 1 1 (3) ・+・ + (n+1)(n+3) 1 1 1 1 *(4) + ・+ 1+2 2+√7 √7 +√10 +: ・+・ ・+・・・・ √3n-2+√3n+1 sa 1 + + 2.4 3.5 4.6

(1) |x/2x-4|<1を-1<x/2x-4<1として考えたのですが、 そうすると答えと不等号が逆になってしまったのですがこの解き方ではダメなのでしょうか、もしこの解き方でも解ける場合はどうやって答えになるか教えてほしいです。

基本 例題 36 無限等比級数が収束する条件 x(x-4)x2(x-4) 無限級数 (x-4)+ + 2x-4 (2x-4)2 (x2) について 00000 1 (1) 無限級数が収束するときの実数xの値の範囲を求めよ。 (2) 無限級数の和Sを求めよ。 基本 35 重要 46,57 00 指針 無限等比級数 Σarn-1 の収束条件は a=0 または |r|<1 A n=1 a 収束するとき α = 0 なら和は 0 解答 |r| <1 (a≠0) なら和は 1-r (1)初項,公比を調べ, A に当てはめてxの方程式・不等式を解く。 [9] (2)初項が =0, ≠0の場合に分けて和を求める。 CHART 無限等比級数の収束条件 (初項)=0 または |公比|<1 x の (木)(I) 2x-4 (1) 与えられた無限級数は,初項 x-4,公比 無限等比級数であるから, 収束するための条件は(1) x-40 または x 2x-4 <1 x-40から x=4 ... (1 また1から |x|<|2x-4| (*) よって |x|2|2x-4|2 整理して 3x2-16x+16> 0 ゆえに (3x-4)(x-4)>0 nia これを解いて x</1/31 4<x... ② nie したがって, ①,②から x< <4/13, 4≦x (2) x=4のとき x<1/1314<xのとき S=0 (初項) = 0または |公比 | <1 \A\ (S) - 両辺を平方しても不等号の 向きは不変。 なお, (*) か ら (2x-4)^-x2 >0 (2x-4+x) (2x-4-x)>0 と変形してもよい。 ①と②を合わせた範囲。 初項0のとき, 和は 0 S=x-4 =2x-4 |公比|<1のとき,和は x 1- 2x-4 034 (初項) 1 - ( 公比 )

囲ってある部分についてです。 なぜ（−1）n乗じゃないんですか？n−1乗になる理由を教えてください！

742/21☆ 基本 例題 42 2つの無限等比級数の和 (2-2)+(+2)+(3-2)+ 21/20よ 次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。出会 00000 +......+ ++(2)+ ...... P.64 基本事項目,基本 |指針 無限級数 まず部分和 ( )内を1つの項として, 部分和 S を求める IN ROO ぞれ求めよ。 (複数 D 43 ここで,部分和 S, は 有限であるから,項の順序を変えて和を求めてよい。 注意 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない(次ページ参照)。 別解 無限級数 ∑an, Σbn がともに収束するとき, k, lを定数として 00 n=1 n=1 n=1 00 00 (kan+1b.)=kan+12bm が成り立つことを利用(p.64 基本事項)。 n=1 n=1 3人が1枚目、2枚 初項から第n項までの部分和を Sn とすると Sn=12+ 解答 S,= (2+//+//+..+)-1/2-12/3+/2/2 +・・・+ (-1)n-1 2n LIDE 1- 3 1-(-1/2) =3 の一部の金額を金者の よって |= lim Sn = 3.1-1.1=3 8 企業の貸し出しに 金を 3払いに当て、拡 ゆえに、この無限級数は収束して、その和は 8 別解(与式)=2371+ n=13" n-1 83 (-1)=1/2(1/2)^2+(-1/2)"} 22 ( 13 ) は初項 2.公比 1/3 の無限等比級数ne て 2(-1/2)は初項 - 121,公比-12 の無限等比級数 a Sは有限個の項の和な ので,左のように順序を 変えて計算してよい 。 初項α,公比rの等比数 列の初項から第n項ま での和は,r=1のとき a(1-r") 1-r で,公比の絶対値が1より小さいからこの無限等比級 無限等比級数 Mar 数はともに収束する。 ゆえに、与えられた無限級数は収束して, その和は その和は \n-1 1000 00-900 (7=1 2 === + は、 1- 3 として新たにお金を n n=1 の収束条件は a=0または|r|<1 ◆収束を確認してから 8 を分ける。 3 無限級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 p.81 EX