-
![]()
主意。
不等号の向きが変
2
てから 200
こは1より大きい
-(2x+2)<-
ってく
>であるから
下号の向
基本例題 169 指数関数の最大・最小
(1) 関数 y=4x+1-2+2+2(x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
(2) 関数 y=6(2*+2-x)-2(4'+4*) について, 2^2x=tとおくとき,yをtを
用いて表せ。また,yの最大値を求めよ。
基本 167
指針(1) おき換えを利用。 2*=t とおくと,yはtの2次式になるから
2次式は基本形α(t-p)+αに直す
で解決!
(1) 2=t とおくとt>0 x≦2であるから0<t≦22
!
したがって
0<t≤4
......
**** @ 1 +8 7²+0
(1)
yをtの式で表すと
なお, 変数のおき換えは、「そのとりうる値の範囲に要注意。
(2) まず, X2+Y2=(X+Y)'-2X Y を利用して 4* +4 x をtで表す。
yをtで表すと,t の2次式になる。 なお、 t=2* + 2x の範囲を調べるには, 2*> 0,
2006 1
2>0 に対し,積 2*•2-x=1 (一定) であるから、(相加平均)≧ (相乗平均) が利用できる。
v=4(2x)2-4・2x+2=4t²-4t+2=4t- 1
(1)
log 81-10
①の範囲において, y は t=4で最大, t=
2
t=4のとき
2x=4
ゆえに
t=1/2のとき
ゆえに
VOT
(2) よって
x=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2) 4*+4x=(2x)^+(2-x)=(2x+2-x)-2・2*・2-x=t-2
したがって
v=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
①
2020 であるから, (相加平均)≧ (相乗平均) より
.... (2)
(*)2x+2x≧2√2x•2 x = 2 すなわち ≧2
ここで,等号は 2 = 2*, すなわち
x=-x から x=0のとき成り立つ。
①から
\2
y=-2 (1-3)² + 1/7
2
② の範囲において,yはt=2のと
き最大値8をとる。
したがってx=0のとき最大値 8
練習
③ 169
=
2 = 4( + - +/- ) ² + 1
2
2x=
1
で最小となる。
x=2
x=-1
17
2 8-
4
I
1
1
10
32
2
Mgold="gol
(1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 な
y=(24) (-1≦x≦2)
psq 2 ≤29
d.gol
il 120 140
YA
O O O
50
344101
12
0
2*•2x=2°=1
4
a+b
2
(12/1)
t
相加平均と相乗平均の関係
a> 0, b>0のとき
-=√ab
(等号はa=bのとき成り
立つ。)
(イ)y=4x-2x+2 (-1≦x≦3)
6 boll
(2)a>0,a=1 とする。 関数y=a2x+α-2x-2ax+α-x)+2について、
h?
t=2 となるのは, (*)で等
号が成り立つときである。
265
大阪産大]
をtを用いて表し,yの最小値を求めよ。(p.272 EX108,
5章
29
指数
相数関数
