3次曲線と接線
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とができるような, a, bの条件を求め, 点 (a, b) の存在する領域を図示せよ。
点(1,0)を通って, 曲線 y=x²+ax²+bxに異なる3本の接線をひくこ
精講
曲線 y=f(x)の接線の方程式は,
接点(t, f(t)) により決まります.
このときの接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
であり,これが点(α, b) を通ることから,t の方
程式
b=f'(t)(a-t)+f(t) ......(*)
を得ることができます. この方程式をみたす tを
求めれば,その点における接線が1本ひけること
になります。 すると, 3次関数のグラフでは接点
が異なれば接線も異なるので,
接線の本数=接点の個数
=方程式(*)の実数解の個数
ということになります。
解答>
解法のプロセス
接線の方程式
y=f'(t)(x−t)+ƒ(t)
y=x³+ax²+bx
y'=3x²+2ax+b
曲線上の点(t,t+at+bt) における接線の方程
式は
f(t)=2t³—(3—a)t²—2at—b
とおく. 3次関数のグラフでは接点が異なれば接線
も異なるので
点 (1, 0) を通る接線が3本ひける
⇔f(t)=0 が異なる3つの実数解をもつ
↓点(1,0)を通る
0=f'(t)(1-t)+f(t)
↓
(*)
方程式(*)が異なる3つの実数
解をもつ
y=(3t²+2at+b)(x−t)+t³+at²+bt
:: y=(3t²+2at+b)x-2t³-at²
これが点 (10) を通るのは
0=-2t°+(3-a)t2+2a+bを通って接線をいく
to your it
のときである.
方
接線が3本存在する
225
yi
f
y=f(t)₁
KHUT
