ちんぷんかんぷんです。

例題15 二項係数の関係式(2) **** nを正の整数として,次の等式を証明せよ. (1)C2+,C2+,C2+,C32++„C2=2Cn (2) 2≦n,r= 1, 2, …………, n-1 のとき, C,="-1C,+n-1Cr_1 考え方 (1) (1+x)2"=(1+x)". (x+1)" であるから, (1+x)2" の展開式における x”の係数と、 解答 Focus (1+x)"×(x+1)" の展開式におけるx”の係数は一致する. (2)(1+x)=(1+x)(1+x)"-1であり、両辺のxの係数は一致する. (1) 二項定理(a+b)"="Coa"+"Cia" 'b+"Caa"-262+......+"C„b" において、 a=1, b=x とおくと, (1+x)"="Co+,Cix+nC2x2+....+nCnx" a=x, b=1 とおくと (x+1)"="Cox"+"Cix”-1+nCzx"-2+.. (1+x)2" = (1+x)"(x+1)" が成り立ち, (1+x)2" の展開式におけるx”の係数は 27 Cn ... ① また, (1+x)". (x+1)" =(nCo+"Cix+n2x++〃nx") („Cox" + "C₁x" + "C₂x" - 2 + .....+nCn) の展開式における x” の係数は, nCoXnCo+miXn1+C2X2+......+nCn×nCn =nCo2+ "Ci2+nC22+, 32 ++,C2 ...... ② ①,②は一致するから, no2+12+2+„C32++Cn2=2nCn (2)(1+x)"=(1+x) (1+x)"-1 である. (右辺) = (1+x) (n-1Co+n-1Cix+n-1C2x2+ の展開式におけるxの係数は,2≦n,r=1,2, n-1 -1Cr+n-1Cr-1 である. +nCn +n-1Cn-1x-1) (E) ......,n-1より、 これは,左辺 (1+x)" の展開式における x”の係数,C, と一致する. よって, 2≦n,r= 1, 2,.......n-1のとき Cr=n-Cr+1Cr-1 . (1+x)^n=(1+x)"(x+1)", (1+x)"= (1+x) (1+x)" などの 展開式における係数から、二項係数のいろいろな関係式が生まれる 注〉 (2) C-1C,+n-1Cr-」 が表す意味 人の中から人を選ぶ方法 (,,通り)は、ある特定の1人を含まないつまり、 残り (n-1)人の中から人を選ぶ方法 (7-1C,通り)とその特定の1人を必ず 含む、つまり、残り(n-1) 人の中から (r-1) 人を選ぶ方法 ( わせたものである。 通り)を合

解答の 3行目の4＝5×0… となる理由がよくわかりません。右にあるヒントに5×整数とあり、整数をかけている、というのはわかるのですが、かける整数はなんでもいいのでしょうか？0と2をかけた理由はあるのでしょうか？教えてほしいです🙇‍♀️早めにお願いします！！

■ 第3章 集合と命 Think 例題 93 集合の相等の証明書の **** Zを整数全体の集合とするとき,次の集合A, B は等しいことを証明せよ。 A={4x+3ylxEZ, y∈Z}, B={5x+2yxZ, yEZ} BCA A=B 考え方 ACB -U- A=B、 B A かつ ⇔ A=B (2つの集合の相等)の証明は, ACB と BCA の双方を示す。 ACB の証明は、任意の整数x,yに対して,次のように表せることを示す。 4x+3y=5×(整数)+2×(整数) BCA の証明も同じ方法による. 解答 (i) 集合Aの任意の要素を α=4x+3y (xEZ, yEZ) とする. 4=5×0+2×2,3=5×1+2×(-1) より =(5×0+2×2)x+{5×1+2×(-1)}y =5y+2(2x-y) xEZ, yEZ より 2x-yEZ であるから, αEB したがって, ACB が成り立つ. (ii) 集合Bの任意の要素を, B=5x+2y (xEZ, yEZ) とする. 5=4×2+3×(-1), 2=4×(-1)+3×2 より, B={4×2+3×(-1)}x+{4×(-1)+3×2}y =4(2x-y)+3(-x+2y) xEZ, yEZ より 2x-yEZ -x+2yEZ であ るから, BEA したがって, BCA が成り立つ. (i), (i)より, ACB かつ BCA であるから, A=B が成り立つ Focus 注 ACB の証明 4x+3y =5×(整数)+2×(整数) の形で表すために, 4 と3を 5×(整数)+2×(整数) の形で表す. 4=5×2+2×(-3) などとしてもよい。 BCA の証明 5x+2y =4×(整数)+3×(整数) の形で表すために, 5 と2を 4×(整数)+3×(整数) の形で表す. A=B(2つの集合の相等)の証明は, ACB かつ BCA を示す 4×1+3×(-1)=1 より 4×n+3×(-n)=n つまり、x=n,y=-n のとき, 4x+3y=n 5×1+2×(-2)=1 より 5×n+2×(-2n)=n つまり、x=n, y=-2n のとき, 5x+2y=n となるので,A,Bはともに整数全体になる. 柚羽

なぜ1±√3iに2分の2をかけるのですか？？教えていただけると助かります

素数 (413) C 例題 C2.28 三角形の形状の決定(2) 三 **** 0でない2つの複素数 α, β が α-2αβ+48=0 を満たしている. (I) C 考え方 5 x a aa poplargo を求めよ. 1410 複素数平面上の原点を0とし,α,βの表す点をそれぞれ A,Bとす あるとき △OAB はどのような形の三角形となるか a (1) 30より、2次方程式 (1)-2(1)+4=0で=1±√3i OA a α-0 a =131 (2) 10より 18. arg 1/18 arg = より BOAを調べる。 OB p B-0 (1) 80 より α²-2αβ+48=0 の両辺を で割ると a (8)-2(10/8)+4=0 は at とおくと, B B TODA B これを解くと.8=1±√3i (7) B これより== =1±√3i=20 1√3 土 2 2 t2-2t+4=0 これを解くと |- t=1±√3i +isin(土)を極形式で表す。 =2{cos(土)+isin(土)} (複号同順) +800+50 1=1±√3t. ||=2. arg=土/7(複号同順) 10=2{cos(土)+ +isin (土) (複号同順) よって、 (2)(1), であるから, で Focus すなわち, OA a 3 DA-| |-2 Cy) OB OA: OB=2:1 また, arg=1 よって、△OAB は, <B を直角とする OA: OB=2:1の直角三角形 異なる3点 A (α), B(β) について、 両辺を β2 または α2で割って, patgaβtrβ'=0 の形の式 (α0,β0) は, 012 第 5 章 •A(α) Jei 3 OB(B) π 3 73 A(a)

☆高校数学IIです☆ 二つの放物線の両方に接する接線を求める問題でやり方がわからずネットで検索していたら『二つ各放物線の座標を求め、その二つの座標から傾きを出す。そして、どちらか一つの放物線を微分してxをsに置き換えてその式に傾きをイコールして、sを求める。最後に微分した式... 続きを読む

ネットのやり方 C1=y=x2+2x-1.C2=y=x2-4x+8 ①2つの頂点求める ②①より傾き求める 4-(-2) C(-12)C2(2.4) = 2 2-(-1) ③ C,上の接点のx座標をSとおくとy=2x+2より25+2=2:S=0 接点は(O.1より、接線はy=2(2-0)-1=2x-1 ※字がきたなくてすみません。 CA

2番わかりません

3辺の長さが3, 4, xである三角形について、 次の問いに答えよ。 xのとり得る値の範囲を求めよ. この三角形が鋭角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ。 [3+4>x x+3>4 【解答 (1) 3辺の長さが3,4,xの三角形が存在する条件は、 3/ APST yた三角形ができない。 三角形ができるためには, a+b> c が成り立つ必要がある。 考え方 (1) たとえば, 3辺の長さが3, 4,9では、 9 (2) 鋭角三角形となるのは,最大の角が鋭角のときである。 最長となる辺の対角が最大となるので, 4とxを比較する。 辺と角の大小関係は p.425 参照) Focus これより、 x+4>3 (2) (i) 1<x<4のとき,最大の角は長さが4の辺の対 角である.それをaとすると,α<90°となるため には, x2+32-42 2.x.3 cos a=- ->0 1<x< 7 これより これと 1<x<4 より √7<x<4 (ii) 4≦x<7のとき, 最大の角は長さがxの辺の対 角である. それをβとすると, β <90°となるため には, 32+42-x2 2･3･4 √x x2+32-40 の16 cos B=- これより, -5<x<5 これと 4≦x< 7 より , よって, (i), (ii) より, ->0 32 +42-x20 a, b,c を3辺の長さと する三角形が成立する条件 1524 4≦x<5 √7<x<5 HOL BISIDASTANY C 546506 SONG SHOW a+b>c と余弦定理 241 **** a a,b,c を3辺の長 さとするなら a>0. b>0, c>0 *** であるはずだが、こ れらは、三角形の成 立条件の3つの式か ら導かれる。 (次べ ージの Column 参照) 最大角をみるために は、場合分けが必要 一般に Aが鋭角 ⇒b²+c²>a² を用いてもよい。 b+c>ala-bl<c<a+b c+a>b cos A>06²+c²>a²C815 cos A=0b²+c²=a² Aが鋭角 Aが直角 Abcos A <0b²+c²<a²b\ Aが鈍角 <3+0 第4 0% 0<S Let And A すい 次の問いに答えよ.

右に書いてある「第1項が〜」のところの詳しい説明をして欲しいです。

mink 例題 B1.25 (等差数列)×(等比数列の和 TROVA 次の和を求めよ. S=1・1+2・3+3・3' + 4・' +......+n." - ｢(同志社大改) 10 July S = 1 ·1+ 2 3+ 3 3° + 4 3 +..... + n ・3" - 1 考え方 各項の前の部分に着目すると, 解答 1, 2, 3, 4, OS DO さらに,各項の後の部分に着目すると, S=1･1 +2･3 + 3・3 + 4・3°+....‥+n3"~】 ①② より Focus -10) I+ よって, 7-1 1,33, 3.......... 等比数列 (初項1,公比 3 ) となる. JENSE BUUROOR H つまり,一般項a, は, am=n3"'= (等差数列)×(等比数列)となる。 この形の数列の和は,公比r(ここでは3) を利用して, S-S を計算するとよい。 an からま S=1·1+2·3+3·3³+4·3³¹+ ··· + n.3¹ 両辺に3を掛けると, 両辺に公比の3を掛 ける. 3S= 1・3+2・3°+3・3°+..+(n-1) 3"'+n・3" 11の和 1.(3-1) 3-1 n.3"= ・3"- 2 -2S=1・1+(2−1)・3+ (3-2)・32+(4-3)・3°+.･.･. 1.6 SOL ......+{n-(n-1)}・3"'-n・3" =1･1+1・3+1・3°+1・3°+...... +1.3"--n・3" =1+3+3+3°+…..... +3"'-n・3" 1 大変だが - n.3" 2+1; 等差数列 (初項1,公差1) 2 **** 3" S= 1 + 1/2-3²= 3³ (2n-1) + 1 M) =·3"+=+₁ -n. 4 4 47 an = (等差数列)×(等比数列) の形をした数列の和 S > S-rs を利用 ・・ (8) 各項の前の部分が1 になるように差をと り、各項の後の部分 に着目して考える。 は初項1,公比 3の等比数列の初項 から第n項までの和. ただし, の第1 項目が等比数列の初 項にならない場合も ある. (2) sl 10+A) & KI+A)} TOM

⑵の解説がよく分かりません。図で説明して欲しいです🙇

1)で AC を トル 直線上にあ と表せる。 6-a 化する 1 まで変 点Pは点 の向き で動く. M (mm) 例題1.34 直線のベクトル方程式 (2) (1) 点A(4,1)を通り,n=(-3,5) に垂直な直線の方程式を求めよ. (2) A(5,4) から直線l: 2x+3y-6=0 に垂線を引き, lとの交点 をHとする. 点Hの座標を求めよ. 考え方 (1) 直線上の点をP(x, y) とすると, 解答 合 Focus (2) 法線ベクトルnを求めて, 考える。 ax+by+c=0 NAP または AP=0 つまり、AP= 0 (16) n=(a,b) (1) 求める直線上の点をP(x,y) とすると, AP=(x-4,y-1) NAP または AP=0 より, n AP=0 したがって, (249) 3ベクトルと図形 つまり, ･AP=-3(x-4)+5(y-1) = 0 LA <法線ベクトル> 直線lに垂直なベクトルを, lの法線ベクトルという. |法線ベクトルは無数にある. **** よって, 3x-5y-7=0 2000円 (2)=(2,3) は直線ℓの法線ベクトルの1つであるから, m//AH よって, AH=km (k は実数) とおける. 点の座標を(p,q) とすると, AH=(p-5, g-4) より (p-5, q-4) k(2, 3) A p=2k +5......①,g=3k +4....② 点H は l上の点だから, 2p+3g-60 [V 3* ① ② を代入して, 2(2k +5)+3(3k+4)−6=0 Sel 16 よって, k=- 13 n -=0²202/33 33 4 これを①,②に代入すると,p=- 9=1/3 + q= より、 H 13 (1) b=0:y=-x-1013 - D. First C 傾きは- したがって、n=a-a=0 より, din 13' 13 e C1-63 法線ベクトル nonを用いた直線のベクトル方程式は、 n·AP=0 注》次の(I)(Ⅱ)より, ベクトル n= (a, b) が直線ax+by + c = 0 と垂直であることが わかる.ただし,n=① とする. 方向ベクトルはd=(1) 第3章 x=- C a (Ⅱ) b=0:ax+c=0 より 方向ベクトルはd=(0, 1) また,n=(a,0) したがって d.n=0+0=0 より Kodin 2020 練習 (1) 点A(35) を通り(11) に垂直な直線の方程式を求めよ. C1.34 (2) 点A(-1, 3) から直線ℓ: 2x-y-3=0 に垂線を引き, lとの交点をH ** とする. 点Hの座標を求めよ. ➡p.C1-81 26 (2) やってない

（2）の解説がよく分かりません。変形から先を教えて頂きたいです！

〇和が -) 数列の 例題 310 漸化式と確率 (3) 数直線上を原点から右 (正の向き) に硬貨を投げて進む。 表が出れば 1 進み, 裏が出れば2進むものとする。 このようにして, ちょうど点nに到 達する確率をpm で表す. ただし, nは自然数とする. ( (1) 3以上のnについて, n と D-1, D-2 との関係式を求めよ. (2)≧3) を求めよ. 48305 ++ ■解答 (1) 点nに到達するのは, 点 (n-1) に到達して表 が出る場合か、点 (n-2) に到達して裏が出る場 immi mm 合である。よって, n≧3のとき, 考え方 (1) 点nに到達するのは、次の2つの場合が考えられる. (ii) (i) (n-1)に到達して、 表が出る. imm (ii) (-2)に到達して, 裏が出る. (大豆北) 1 (2) pn=12pn-1+1pn-2 を変形して, Focus P₁= G-LAL 初項 1 pn=Pn-1 • 2 + pn-2 • 1² = 12 Pn-1 + ½ pr-: 2 1 A-1293847 12/23 2' Pnt. +/1/2.pn-2 3 p2= だから,数列{bn+1-pn}は, 4 か=21,公比 = 1,公比 - 123の等比数列となり, n-1 n+1 Pn+₁-pn = 1 + (-1) ² - ¹ = (-1)^² ..1 ...... 4 2 数列 pats+ /1/2pm} は隣り合う項が等しいから Pn+₁ + 1/² Pn= P₂ + ²/² P₁ = ³ + 1/2 - 12/1 3 4 よって①,② より p=//{1-(-1/2)^2} n-2 NDOSE 3&<$7/₂2²_1 A2 pn=²3 3 43435 n-1 x2= -x+ Pn-Pn-1=--(Pn-1-Pn-2) Pn-Pn-1=(Pn-1-pn-2) 2 2 2解x=- **** (n-1)+1 n (京都大) 特性方程式 (n−2)+2n ([). 裏 → 23 (i) 点nに到達する1回前の試行に注目して漸化式を作る 3項間 100 2' n 1/12/12/01/11/1/11/11/ βとして Pn-apn-1 B(pn-1-apn-2) に2通りの代入をする. 2 は次のように考える. 1 1_1 P₂= P₁° 2 + 2 = 2 Pit. 3 1 \n +1] || =* = P₂+2 P₁ 2-1 をα, Pn+1 + 1/ Pn=p₂ + 1/2 Pn - 1 + XC 1 2 なとき 第8章

数1A 集合の表し方ですが、⑵の解答解説を読んでもイマイチ理解できません。詳しく教えて下さい。

例題 145 集合の表し方(3) 20以下の自然数の集合を全体集合Uとして,次のUの部分集合 A, B, C, D の包含関係をいえ. A={n|nは3の倍数},B={n|nは6の倍数}, C={n|nは3の倍数または2の倍数}, D={n|nは3の倍数かつ2の倍数} (2) 全体集合をU={n|nは自然数, 1≦n≦6},Uの部分集合を A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} とする. A∩B≠Ø, AD2 のとき,αの値を定め, A を求めよ. 方 (1) x∈P となるxが必ずxEQのとき,PCQ となり, PCQ かつ QCP のとき,P=Q となる. まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す. (2) 与えられた条件に注目する. A∩B=Ø とは、 AとBの中に同じ要素があるということ. さらに, AD2 より, その要素は2ではないことがわかる. 287 89 ■解答 (1) A={3,6,9,12,15,18},B={6, 12, 18}より, BCA E={n|nは2の倍数} とすると, E={2, 4, 6,8,10, 12, 14, 16,18, 20} C=AUEDA Focus より、 D=ANE={6,12,18}=B よって, B=DCACC (2) U={1, 2, 3, 4, 5, 6} 6. (1+$)S=1+alx A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} で, AUE A ●x A- ***11+ -B、 ** ・P. DANGERE 6. - 105X a-3<a<a+2, AD2 より, _A∩B={9-2a} (i)a=9-2a のときAキュ α=3 となり,このとき a-3=0 AD つまり, A={0,3} となるが, UD0 より不適. 素となる. (ii) a-3=9-2α のとき a=4 となり,A={4, 1},B={2,6,1} は、ともにの部分集合で, A∩B={1} よって,a=4,A={2,3,5,6} 歌 第4章 1 ≤ 058 150-356- 15072€ 6-8 19-206 a=a+2,0) a-3キα+2 であり、 2がAの要素でないの で, 9-2α が共通の要 集合の記号∈, C, n, U, , Ø, Uは使って覚えよう Uの要素は1から6ま での自然数 全体集合の中に入って いるか注意する。 A∩B≠Ø の確認

印をつけたところの意味がよくわかりません。 どういう考えでこういう式になっているのですか。

Think 例題 236 2 円の位置関係(2) △右の図のように、半径50円 0 と半径1の円O2 が あり、中心間の距離は 012=2 である。 円Cが円Oに内接し, 円 02 に外接しながら動くと 円Cの半径rのとり得る値の範囲を求めよ. き 解答 円Cと円Oの接点と中心C, O. は一直線上にあり, 円 Co- 円Oの接点と中心 C, O2 も一直線上にある . 818-84 これらから, CO15-, CO2=1+r 加えて, 3点C, O1, O2 の位置関 係は, 3点C, O1, O2 が三角形を作 るか,または3点C, O1, O2 が一 直線上に並ぶかである. このことを式で表すと, 練習 236 *** [考え方 題意を満たすように円C を動かしてみると, 円Cの半径が最も大きいときと、最も小さ いときの,3つの円の中心の位置関係が見えてくる. 002=2 ① を代入すると, |CO1-CO2 ≤0102≤CO1+CO₂ RESERVA Focus 円 02 に外接しながら動くとき,04円の半径が最大 円Cが円に内接し, |(5-r)-(1+r) | ≤2≤(5-r)+(1+r) よって, 14-2r|≤2≤6 すなわち, 4-2r|≦2 より, -2≦4-2r≦2 この不等式を解くと, -2≦4-2r から, r≤3 4-2r≦2 から, 1≦r よって, 円Cの半径rのとり得る値の範囲は, 1≤r≤3 201 HO='AA 2億円の性質 475 08 画 円の位置関係は,中心の位置関係に注目する **** 右の図のように、半径160円 0, 半径60円 A, B, 半径 の円Cがある. 3円 A,B,Cは円に内接し, A と B, B と C, C とAは 外接しているとき,の値を求めよ. •C 01 02 円Cの半径が最小 800 1 C 012 +80- 83点 C, O1, O2 につ HO='8 いて、 O2 460 H COL+CO2O102, CO2+O1O2≧CO1, OOCOCO2 |CO-CO2| ≤0102≤CO₁+CO₂ (p.425 参照) .0 •C 第8章