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例題 261
面積の最大・最小 (1)
★★★☆☆
点 (1,2)を通る傾きの直線と放物線y=x2 で囲まれる部分の面積をSとす
〔類 京都大〕
る。 Sの最小値を求めよ。
例題 250
指針点 (1,2)を通る傾きの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
これと放物線y=x2 で囲まれる図形の面積は
CHARTS(x-α) (x-3)dx=-1 (B-α) を活用
10
Sはm で表されるから,その最小値を求める。
解答 点 (1,2)を通る傾きの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
図から,この直線と放物線 y=x2 は, 常に異なる2点
で交わる。 交点のx座標は
x2=m(x-1)+2
すなわち x2-mx+m-2=0
......
①
ya
y=x21
(1,2)
S
a
0
B
の実数解であるから,その解をα,β(a<B) とすると
S=${m(x-1)+2-x2}dx=-f(x2-mx+m-2)dx
=-S(xa)(x-B)dx=1/2(B-α)
ここで,①より, 解と係数の関係から
よって
ゆえに
a+β=m, aβ=m-2
(B-α)2=(a+B)2-4aß=m²-4(m-2)=(m-2)^+4
S={(B-a)}=((m-2)²+4}
3
42=
3
したがって,Sはm=2 で最小値 1/12 1/43 08040