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実戦問題 91 2つの放物線で囲まれた図形の面積の最大・最小
2つの放物線y=-x+10x-1 … ① および y=x+2(p+2)x + -6p ・・・ ② が異なる2点で交わっている。
(1) 定数の値の範囲は アイ <<ウである。
(2) 定数がアイ <<ウの範囲で変化するとき、放物線 ②の頂点Pは直線 y=エオカキの
クケ <x<コサの部分を動く。
(3) 放物線 ①,②の交点のx座標をそれぞれα, β (α < β) とおく。 放物線 ①,② で囲まれた図形の面積Sをα β を用い
て表すと, S=
P
(B-α) シ
ス
となるから 面積Sはチのとき最大値
をとる。
となる。また, (B-α) の値をを用いて表すと, (β-α)2=セがソ
[ツテ
ト
p+
解答
(1) ①,② を連立して -x+10x -1 = x2 +2(p+2)x + -6p
整理して 2x2+2(p-3)x + p2 -6p+1= 0 ... 3
①,②が異なる2点で交わるとき, 方程式 ③ の判別式をDとすると
D
083+=(-3)² − 2(p² − 6p+1) > 0
-p2+6p +7>0より
よって, 求めるの値の範囲は
(2)②を変形して
+
(+1) (p-7) < 0
-1<p<7
AS YOU
1
y={x+(力+2)}-p+2)+p-6p=(x+p+2)-10p-4
よって、放物線 ②の頂点Pの座標を(X, Y) とおくと
放物線 ②の頂点は
Key
X=-p-2... ④, Y=-10p-4 … ⑤
④ より =-X-2 これを⑤に代入して Y = 10X +16
また, -1<< 7 であるから
-1 <-X-2 <7 より -9 < X < -1
(+)
ゆえに、点Pは直線 y=10x+16の-9 <x<-1 の部分を動く。
(3) 2次方程式 ③ の異なる2つの実数解をα, β (α <β) とおくと、求
める面積Sは
(-2,-10p-4)
24
①
S = = "[(x+10x-1){x+2(p+2)x + p°-6p}]}dx
>>-
(
②
-J"{2x2+2(-3)x+p-6p+1}dx
Key
=-2/(x-a)(x-β)dx=-2・
2.{1/(-a)}=(-a)
5
x
3
また、③において, 解と係数の関係により
α+β= -(p-3),
aβ= 20
p2-6p+1
H
2次方程式 ax2+bx+c=0
の2つの解をα β とすると
b
よって (β-α) = (a +B)-4aβ={-(-3)}2-4・ p2-6p+1
a+β=-
a'
a
TOY=-p²+6p+7=-(-3)²+16
=128
2
(B-α)24
よって, -1 <<7において, (β-α)2はp=3のとき最大値16を
とるから, β-α >0より, β-αは p = 3 のとき最大値4をとる。
したがって, 放物線 ① ② で囲まれた図形の面積Sは
16---
43
p = 3 のとき 最大値
64
3
3
攻略のカギ!
10 3
p
Key 1点Pの軌跡は,P(x,y)とおいて,xの関係式を導け30 (p.138)
K2 放物線と1直線、2放物線で囲まれた図形の面積は,∫(x-α)(x-B)dx = 1/2(B-α) を利用せよ
-
42 (p.171)
