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2x-6x+9
223
グラフ,
2個,
1個
かる。
程式では
考える。
の実数 f'(x)=3x2-3a²=3(x+a)(x-a)
= f(x)
の個数に
別に
1個
き
81.
Do
基本例題219 3次方程式の実数解の個数 (2)
3次方程式x3-3a²x+4a=0が異なる3個の実数解をもつとき, 定数αの値の範
囲を求めよ。
指針 方程式f(x)=0の実数解⇔
解答
y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標に注目。
3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつ
⇔
y=f(x)のグラフがx軸と共有点を3個もつ
(極大値)>0かつ (極小値) < 0
(極大値)×(極小値) < 0
f(x)=x-3a²x+4a とする。
3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから,3次関
数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。
ここで, f(x) が極値をもつことから, 2次方程式f'(x)=0 は
異なる2つの実数解をもつ。
f'(x)=0 とすると
x=±a
よって
このとき, f(x) の増減表は次のようになる。
a>0 の場合
a<0 の場合
a
x
-a
0
f'(x) +
0
f(x) 極大 \ 極小
+
If(-u)f(a)<0から
すなわち
40² (q²+2)>0であるから
したがって
3次関数では
(極大値)> ( 極小値)
£-x)(
a<-√2, √2<a
〔昭和薬大〕
a
(2a³+4a) (-2a³+4a) <0
4a²(a²+2)(a²-2) >0
a²-2>0
0
x
-a
f'(x) +
0
+
f(x) 極大 \ 極小 >
a≠0
...
基本218
極大
演習 224
y=f(x)
0
極小
(極大値)>0, ( 極小値) < 0
QUIEM
< α = 0 を満たす。
α=0のとき, f(x)=x3 と
なり極値をもたない。
αの正負に関係なく,
x=a, -αの一方で極大,
他方で極小となる。
(極大値)× ( 極小値)
=f(-a)f(a)
(a+√2)(a-√2)>0
a
【検討 3次方程式の実数解の個数と極値 -
3次方程式f(x)=0 の異なる実数解の個数と極値の関係をまとめると,次のようになる。
② 実数解が2個
③ 実数解が3個
① 実数解が1個
極値の一方が 0
極値が同符号
x
極値が異符号
または
極値なし
B
a B
B
x
who fere ſo we ſee h
A
f(a)ƒ(B)=0
f(a)f(B)>0
f(x)f(B) <0
0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値
p.344 EX142
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38 35 最大値・最小値、方程式・不等式
6章
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