赤線についてです。 2階微分が0より小さいとき、右画像の二つの矢印のうちどちらかになると思うのですが、なぜグラフが上に凸だと分かるのですか？🙏

ry 平面上で媒介変数日を用いて r=0-sino (002) で表さ y=1-cos れる曲線C上の点Pにおける接線がx軸の正方向との角をなすとき, (2) 点Pの座標を求めよ. (1) Cのグラフをかけ. 精講 (1) 媒介変数で表された関数の微分については 64 で学びました。 ここでは,それを用いてグラフをかく練習をしましょう。最大の ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では,スペースの関係上, で求めたdyをそのまま(途中を省略して) 使ってあります. dx2 (2) 直線とェ軸の正方向とのなす角をαとすると(ただしく の直線の傾きは tan で表せます。 (IIB ベク 58 ) そ 解答 (1) 002 のとき, 注 参照 dx dy =1-cos 0, de de =sin より dy sino dx 1-cos また、 d²y 1 <0 64 dx2 (1-cos 0)2 よって, グラフは上に凸. 71 dy_ また、 4 = 0 とすると sin0= 0 dx 1-cos0 >0 だから, 増減は右表のよう ∴0=π(0<<2より) 0 0 TC 2π になる.また, I 0 元 2π dy lim lim 0+0 dx 01+0 sin0(1+cos0 ) 1-cos20 dy + 0 - 1 dx y 0 > 2 V 10 lim +o sino 0 1+cos =+8 0 0-2 =t とおくと,020 のとき, t→-0 sin(2x+t) lim 0-2-0 dx dy lim 1-cos (2π+t) 50 (5)

赤線部分はなぜ調べる必要があるのでしょうか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

基礎問 120 回転体の体積 曲線 y=(vi-√a)(x,a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=a によって囲まれた部分を直線 y=aのまわりに 精講 1回転してできる体積Vを求めよ. (1)75 をもう一度読みかえしてみましょう.今回は,極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります。 それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2) 今まで学んだ回転体の体積は,回転軸がx軸かy軸だけです.今回は, y=a です。 いったい、どのように考えればよいのでしょう. 目標は,「回転 軸をx軸に重ねる」ことです. (1)>0のとき 解答 y' = 2(√x−√a) · (√√x - √ a)' = x ¯ ½ (√√x - √√ a) 1x=0 のとき, 'の分母 となるので √a =1- √x √a y"=- ->0 2.x√x JC Y' y a a : - 0 + 0 > よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな x+0 り, limy'=-8, limy=∞ よりグラフは右図. O a X X 0 lim t

(2)について質問です。 なぜこのような式になるのか分かりません💦 お願いいたします🙇🏻‍♀️

119 回転 2つの曲線 y=sinx (0≦x≦2x,y=cosx 次の問いに答えよ. (0≦x≦2x)について、 (1) 2つのグラフの交点のx座標α,β (0 <α <β <2π) を求めよ. (2)≦x≦において, 2つのグラフで囲まれた部分をx軸のまわり 精講 に1回転してできる立体の体積Vを求めよ. (1) 三角方程式 sinx=cosx を解くことになりますが、2つの方 法があります. (2) 回転するべき図形は, 回転軸(z軸) の両側にまたがっていま すから117 の要領で式を立てますが,図を見るとある特徴があります。 解答 (1) sinx=cosx において, COSx=0 とすると, sin.x=0 となり, sin'x+cos'x=1 をみたさないので矛盾. よって cosx≠0 である. 両辺を cosxでわると, tanx=1 π 5л 0≦x≦2 だから, x= 4' 4 5π 4 α<B だから,α=4,B= (別解) (IIBベク 59: 三角関数の合成 ) sinx=cosx より sinx-cosx=0 合成して√2 sin(r-4)=0 π 4 だから4=0,π 4 4 8 5π 4'4 5π a<B より a=B=5x 4 4 (2)2つのグラフで囲まれた部分とは,〈図I>の斜線部分で求める体

(2)について質問です。 赤線のように分かるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

基礎問 119 回転体の体積 (IV) 2つの曲線 y=sinz (02), y=cosz (02) について 次の問いに答えよ. (1) 2つのグラフの交点のx座標 α, B(0 <α <B<2z) を求めよ. (2)u≦x≦β において,2つのグラフで囲まれた部分を軸のまわり 精講 に1回転してできる立体の体積Vを求めよ。 (1) 三角方程式 sinr=cosx を解くことになりますが、2つの方 法があります。 (2) 回転するべき図形は, 回転軸 (x軸) の両側にまたがっていま すから117 の要領で式を立てますが,図を見るとある特徴があります。 解答 (1)sinx=cosx において, COSI = 0 とすると, sinx = 0 となり, sin'x+cos'x=1 をみたさないので矛盾. よって cosx≠0 である. 両辺を cosx でわると, tanx=1 0≦x≦2 だから, x=- TC 5л 4'4 a<B だから、u=7B=5 4 (別解)(IIBベク59: 三角関数の合成) sinr=cosr } sinx-cosx=0 合成して√2 sin(エース)=0 TC ニュースだから、エース=0, π X=- 4 TC 5π 4'4 a<Bより4=4B= B=57 4 (2) 2つのグラフで囲まれた部分とは, <図I> の斜線部分で求める体

ここのマーカー引いているところが何を言っているのかよく分からないので教えて欲しいです！！！

応用問題 3 - 245 点A(1,α) から曲線 y=x-3x に異なる3本の接線が引けるような 定数aの値の範囲を求めよ. 前半の流れは練習問題 6 と同じです. まず接点の座標をtとおき, その接点における接線が点Aを通る条件を立てます。 後半は、前ページの応用問題2と同様, 方程式の実数解の個数を考える問題に なります。 解答 3の(t,ピー3t) における接線の方程式は y-(t³-3t)=(3t2-3)(x-t) <y'=3x²-3 x a y=(3t2-3)x-2t3 これが (1,α) を通るので, a=(3t2-3)・1-2t a=-2t3+3t2-3 接線の傾きは32-3 ①をtの3次方程式と見る. ①の1つの実数解 tに対して1本の接線が決ま るので、異なる3本の接線が存在する条件は, ① が異なる3つの実数解をもつ ことである. とおく g(t)=-2t3+3t2-3 ①の右辺をg(t) とおく g'(t)=-62+6t=-6t(t-1) より,g(t) の増減およびグラフは下のようになる. t ... 0 ... 1 g'(t) g(t) 0 + - -37-21 y=g(t) と y=a が異なる3つの共有点をもつよ うなαの値の範囲を求めると, -3<a<-2 O 1 y=a y=g(t) 第6章

問題に直角双曲線とあるのですが、これはこの問題のどこに関係しているのですか？この条件がないと解けないのですか？

92 第2章 関数の極限 Think 例題 32 分数関数のグラフと直線 **** kを0でない定数とするとき,直角双曲線 y=- x と直線y=k(x+2) との共有点の個数を調べよ. 2点で交わる 接する YA 共有点はない YA [考え方 分数関数と直線の方程式か yを消去して, xについ ての2次方程式を作る. 次に、この2次方程式の判 -2 -2 触 10 別式を調べればよい。 その際に右のようなグラフ をかいて、ある程度推定し ておくことも大切である。」 共有点2個 D>0 共有点1個 共有点0個 D=0 D<0 解答 y= y=(x+2) より,yを消去して x -=k(x+2) ① kx2+2kx-1=0 ① x を掛ける。 両辺に x ①' は x=0 を解にもたないから ①と①の解の個数は 一致する. ①'の判別式をDとすると, D0 つまり, k(k+1)>0 D=k²+k=k(k+1) 4 より,k<10k のとき, 2点で交わる。 D=0 つまり, k(k+1)=0 \に注意する。 k=0 より ①' は | 2次方程式である. YA y=k(x+2) k=0 より k=-1 のとき, 接する. よって、 共有点の個数は, D<0 つまり、 k(k+1)<0 より,-1<<0 のとき, 共有点はないに <1,0<h のとき 2個 衣 k=-1 のとき, 1個 1 << 0 のとき, 0個 +XD Focus y=k(x+2) PESHE ANC 共有点の個数は、判別式を調べよ 61222 例題 32 では、すでにk=0 という条件が与えられているので検討しなくても問題な いが,k=0が与えられていない場合は, 分数関数のグラフの漸近線と直線が一致す る場合に注意する。ここではk=0 のとき,直線y=0となり,y= のグラフの 漸近線となるから、分数関数のグラフとは交わらない x TE 練習 32 * kを定数とするとき 分数関数 y=- 有点の調 2のグラフ

f(x)のx＝pにおける微分係数、と直線の傾きが等しいと言えるのはなぜですか?教えていただきたいです🙏🏻

I CONNECT 40 接線から曲線の係数決定 曲線y=x+ax+1が直線y=2x-1に接するとき, 定数αの値を求めよ。 考え方 接点のx座標をすると, x=pにおけるy座標が等しい。 さらに, 関数 f(x)=x+ax+1のx=pにおける微分係数と直線の傾きが等しい。 吉 f(x)=x+ax +1 とするとf(x)=3x2+α 曲線と直線の接点のx座標を とする。 x=pにおけるy座標が等しいから p+ap+1=2p-1...... f(x)のx=pにおける微分係数と直線の傾きが等しいから 3+α=2 ② から a=2-32 ①に代入して ③ p+(2-3p)p+1=2p-1 式を整理して か=1 ③から α=-1 圀 は実数であるから p=1

解説見ても全体的によく理解できなかったので、手順など分かりやすく教えて欲しいです。

*449 辺の長さが6cmと16cmの長方形 のボール紙がある。 図の斜線部分を 切り取り、点線に沿って折り曲げて ふたつきの箱を作る。 この箱の容積 の最大値を求めよ。 例題104 6cm -16cm-

青線のところなのですが、なぜ引いてから二乗してはいけないのでしょうか。

264 基本 例題 166 x軸の周りの回転体の体積 (1) 00000 放物線 y=-x2+4x と直線 y=x で囲まれた部分を,x軸の周りに1回転 してできる立体の体積V を求めよ。 CHART & SOLUTION 回転体の体積 まず、グラフをかく ① 積分区間の決定 ②断面積をつかむ まず,グラフをかく。 2曲線の交点のx座標を求め、積分区間を 決定する。 この問題では断面積が S(x)=(外側の円の面積) (内側の円の面積) となることに注意。 解答 p.260 基本事項 2| 内側の円 2+4x x 外側の円 x2+4x=x とすると, x(x-3)=0 YA から y=-x2+4x x=0,3 y=x YA 4 4 0≦x≦3では-x2+4x≧x≧0 であ るから 3 オー 外側 内側 1 I O 213 V=S{(−x²+4x)²—x²} dx =(x-8x+15x)dx =A .5 13 0 x 234 G |-4|-- V={(-x2+4x)-x}dx としないように! (243 =π 108 -162+135 = πT 5 5 ・製造・ INFORMATION 2曲線間の図形の回転体 区間 [α, 6] において, f(x) ≧g(x)≧0 のとき,2曲 線 y=f(x) と y=g(x) 2直線 x=a, x=b で囲 まれた部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の 体積 V は 回転させたら円に YA y=g(x)=f(x)郎 f(x) g(x) 0 a V= ={{f(x)(g(x)}) dx なるから S(x)

(4)の(ii)の答えがなぜこうなるかわかりません。途中式を教えてください。

数学 【1】 次の各問いに答え、 結果のみを記入せよ。 (1) 次の2つの不等式をともに満たすxの値の範囲を求めよ。 14x12x+5 <0 2 次の各場合に, 放物線 C:y=-x2+6x を移動して得られる放物線の方程式を求め, y=ax + by + c の形で答えよ. (i) Cをx軸方向に 2. y 軸方向に -1 だけ平行移動. (i) Cを原点に関して対称移動. (3) 次の | に当てはまる適当な語句を下の①~④の中から選び、その番号 を答えよ. ただし, x, y は実数 n は整数とする. (i) 四角形において, 4辺の長さがすべて等しいことは, 正方形であるための (i) x<4であることは, x-1 <2であるための (曲) xy=0 かつ≠0であることは, x=0であるための ((v) が4の倍数であることは、nが8の倍数であるための ① 必要条件であるが, 十分条件ではない ② 十分条件であるが, 必要条件ではない ③必要十分条件である ④ 必要条件でも十分条件でもない (4) 1000 以下の正の整数のうち,次のような数の個数を求めよ. (i) 3でも8でも割り切れる数 (i) 3と8のどちらか一方だけで割り切れる数 (50点) 各問題の小間配点は①数 23ページに掲載しております . 考え方 (1) 2つの2次不等式を解き, 解の共通範囲を求めます. (2)(i) Cの頂点を求め,それを平行移動させます。 (ii) 原点に関する対称移動では,点(a, b)は点(-a, b)に移ります。 また、上に凸の放物線は下に凸の放物線 に移ります. (3) 「ならばq」が真であるときはgであるための十分条件 gpであるための必要条件といいます。 (i) 4辺の長さが等しい四角形はひし形(正方形を含む)です. (i) 各不等式の解の包含関係を考えます. 数直線上に表して調べられます。 (i)xy = 0 は 「x=0またはy=0」 と同値です. (iv) n を4で割った余りで分類することにより,n2の値を8で割った余りが調べられます。 (4)(i) 3と8の最小公倍数である24で割り切れる数です. (ii) 「どちらか一方だけ」 なので 3でも8でも割り切れる数は含まれません. 【解答】 (1) √5<< (2)(i)y=-x'+10x-17 (ii) y=x2+6x (3)(1) ①(日) ① ( ②(iv) ③(4)(i) 41 (ii) 376