数学Aの黄色チャートcheck＆check15の問題で2:1は出来ましたが、そのあとができません。何の公式を使っていますか？また、解き方を教えてください。

L 円 CHECK CHECK 14 線分ABを14に内分する点Pと外分する点Qを下の図に記入せよ。 A B 15 AB=4,BC=5, CA = 2 である△ABC の ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDと する。 このとき, 線分BDの長さを求めよ。 6 21 16 ABCの外心を0, 内心をI, 重心をGとする。 下の図の角α, β と線分の長さ x, を求めよ。 ● 31 A 20% 40° (2) B 15° 50⁰° C

数学Aの黄色チャートのCHECK＆CHECKの14の問題の内分する点Pはわかりましたが、外分する点Qが分かりません。解説、出し方を教えてください。

あるとすると, BM=CMであるから する。点Hが線分 MC 上またはMCのC BH²=(BM+MH)2, CH²=(BM-MH)² 両辺を加えて整理すると 両辺に 2AH を加えて (AH'+BH2)+(AH²+CH?)=2(BM' + MH2+ AH2) CHECK & CHECKMAI BH+CH²=2 (BM2+ MH2) よって AB2+AC2=2 (AM2+BM2 ) 点Hが線分 MB 上または MBのBを越える延長上にあるときも同様に証明できる。 [注意] 上の図の垂線 AH のように、問題解決のために新たに付け加える線分や直線のこ とを補助線という。 A B 14 線分AB を 1:4に内分する点Pと外分する点Qを下の図に記入せよ。 B MHC 三角形の辺の比、外心、内心、重心 © 1 15 AB=4,BC=5, CA = 2 である△ABC の ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDと する。このとき,線分 BD の長さを求めよ。 2 16 ABCの外心を0,内心をⅠ,重心をGとする。 下の図の角α, β と線分の長さ x,

この問題の最後の最後で、普段使う角度の「°」で答えて間違ったのですが、「π」を使って答えるってどのようにしてわかるのですか？？

C CHECK 137 2つのベクトルa=(1,4,1) (ただし, 00<π) の値を求めよ。 1) の内積の値とことのなす角0 =(-2,-2, [10 北里大]*

(3)で2枚目青マーカー部分が分かりません…

第60題 数と論理 整数と論証 [1] ノートを使って取り組もう! ★★★★ ●わからないときは解答解説ページの 「解答の指針」を見てから解いてみよう。 1 次の問いに答えよ。 □ (1) 5以上の素数は, ある自然数n を用いて 6 +1 または 6n-1の形で表されることを 示せ。 □ (2) Nを自然数とする。 6N-1は, 6n-1 (nは自然数) の形で表される素数を約数にも つことを示せ。 □(3) 6-1 (nは自然数) の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ。 ('09 千葉大医)

極限計算についてなんですが、どうして一旦因数分解？してからではないと正しい答えが出ないのですか？？ 私は初めからtに1を代入してしまいました、

176. ~ CHECK 110 lim +→1 2t² + 3t-5 t-1 2+3-5=0.

(2)の解答青マーカー辺りからよく分かりません。 よろしくお願いします。

次の問いに答えよ。 □ (1) 5以上の素数は,ある自然数n を用いて 6n + 1 または 6n-1の形で表されることを 示せ。 □ (2) Nを自然数とする。 6N-1は, 6n-1(nは自然数) の形で表される素数を約数にも つことを示せ。 □(3) 6n-1(nは自然数) の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ。

数三置換積分です。 別解で積分定数C’が出でくるのですが、どうしてですか？

Check 題 229 贈答 次の不定積分を求めよ. fx(2x-1) dx 置換積分法 (1) 展開するのではなく, 2x-1=tとおいて考える。 (2)√x=t とおく.(√x-1=tとおいてもよい。)(メー Cは積分定数とする. ub(g)))=xb(x)'`b((2) (1) 2x-1=t とおくと, Focus x= (2)√x=t とおくと, dx = 1/2*, dx==1/dt より, dt ・dt よって, t+1 2 Sx(2x-1)³dx=+1.1.1/dt -²+²-1+1+1+c = 1 S ( 1° +15) dt = 1 + 1/ 4 7 =168 °(6t+7)+C=18(2 -(2x−1)³(12x+1)+C x=12 dx=2t より, dx=2tdt dt よって, S₁²₁²_₁dx=S+² ₁.2 tdt √x-1 4 dx=2t+2より dt √√√²-10²₂ dx 1x (別解)√x-1=t とおくと, x=t2+2t+1 *** -tº C =2√x+10g(√x-1)2+C. =(2t-1)+2d=(2+121) dt =2t+2log|t-1|+C=2√x +10g(√x-1)2+C .873 31 basicns mit Geon= dx=(2t+2)dt S√²-7 dx = S(2t+2)dt =S (2+2) dt x-1 =2t+2log|t|+C'=2(√x-1)+210g|√x-1|+C ** x=g(t) とおくと, f(x)dx=~f(g(t)g'(t)dt 両辺をtで微分する. dt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 1/12dt を代入す る. 最後はxの式に戻す. 2tdt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 2tdt を代入す る. S/1/dx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. dx に (2t+2) dt を 代入する。 C-2=C としている。 最後はxの式に戻す。 49

フォーカスゴールドの問題なのですが、問題文の意味から分かりません。解説をお願いしたいです、、。

は、 保 Check 例題 243 互いに素な自然数の個数 力を自然数とする。(m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数 *** をf(n)とするとき,次の問いに答えよ. (1) f(15) を求めよ. (2) f(pg) を求めよ.ただし, b, q は異なる素数とする. (3) f(p) を求めよ。ただし、pは素数,kは自然数とする。(名古屋大・改) 考え方 (1) 15 であるから, f(15) は, 15以下の自然数で15と互いに素,つまり,3の倍 ま数でも5の倍数でもない自然数の個数を表す. (2) は異なる素数であるから、 と互いに素である自然数は,かの倍数でもgの 倍数でもない自然数である. 互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 よって (3) 解答 (1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数, すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の より、自然数は, 3, 6, 9, 12,15, 5, 10 の7個である. よって, 15 と互いに素な自然数の個数は、 150 f(15)=15-7=8 その他の 練習 1 約数と倍数 Focus 13 NE-A 実は (2) p, gは異なる素数であるから, pg と互いに素でな い自然数, すなわち, pの倍数またはαの倍数であり、 pg 以下の自然数は, pq+10+1 Dの倍数 1p,2p,.... (g-1) p, pg ⑨個 ⑨の倍数 1・g, 2g, ..., (p-1)q, pq p の1個 pg の倍数 pg より, (q+p-1) 1 0103 よって, pg と互いに素な自然数の個数は, bb. f(pq) = pq-(g+p-1)-DALS)-(6-8-S (8) = pg-p-g+1=(p-1)(g-1) (3) p, 自然数であるから、が以下の自然数はがきが 個ある. この結果は素数であるから,以下の自然数での倍数 カー1(個) 「互いに素である」の 否定 「互いに素でな 「い」を考える. このf(n) をオイラー 関数という. (p.432 Column 参照) (1)を一般的に考える. p=3,g=5としてみ ると見通しがよくなる. pq÷p=q (1) pg÷g=p(個) は全部で, したがって f(p") = pk-pk-1 ES AICI IT TO .80 (85)5√3 ST=N 、電 互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ SON YASSKOR LUSHAJAJ 例題243のf(n) について次の問いに答えよ.ただし, p q は異なる素数 ( ^^)とする 431 第8章

下の方で矢印で示した式変形がどうも上手くいきません。どなたか途中式を示して頂けないでしょうか。

Check 例題 298 (1) bn= a=8, an+1= 解答 考え方 (1) (α>β) の値を求めよ. (2) 数列{an}の一般項an を求めよ. TA {bn}が等比数列になるのは, bn+1=rb, (公比r) と表されるときである.そのた めに, bn+1 を考えて, これを漸化式を利用して α で表してみる. (2) (1)で導いた {bn} を利用して一般項を求める. (1) bn+1= によって定義される数列{an}がある. an-β とおくと、数列{bn}が等比数列になるような,α, B an-a PRERAD .243 14 (668) ((2) 練習 [298] **** 分数型の漸化式 (2) 3an+2 an+2 = an+1-β an+1 - a mmmm 2-2a -α= 乗世界である003-4-B=23-28 3-β_3+1 3-43-2 つまり, 2-2β (3-B)an+2-2B3-Ban 3-B 部分が同じ形 (3-α)an+2-2a 3-a 2-2a an+ 3-B 3-a になれば, を 3-a したがって,数列{bn}が等比数列になるための条件は,公比として {bn} は 等比数列になる. この場合 α, B は, -x (3-x)=2-2x の2つの解であり, x2x-2=0 より, x=2, -1 a>より, α=2,β=-1 an+1 3 において、an-22 よって, 8+0 3 - に対し下また, b=a1+1 = 8+1 a₁-20-8-2 2 (1) bn= であり、これより = an= a1=2, an+1= 3an+2 an+2 3an+2 an+2 ・B a 6.4+8 3.4-8 an+B anta となり値を求めよ。 ・4n-1 3 漸化式と数学的帰納法 =4であるから, (1) より, bn+1=4bn 3x 23), b₂=2.4"-1 より, 3an+2-β(an+2) 3an+2-α(an+2 ) STAD **** (2) 数列{an}の一般項 αn を求めよ. 漸化式を用いるため bn+1 を考える. mm 特性方程式 (p.526 参照) x= 3x+2 x+2 より、 x2+2x=3x+2 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 と同じ解になる. 2(an+1) =3.4-1 (an-2) an= 6.4-1+2 3.4-1-2 6.4" +8 3.4"-8 4an+1 によって定義される数列{an}がある. 2an+3 とおくと,数列{bn}が等比数列になるような, α, B(α>B) の SENS 525 第8章 p. 566 30

解答2の四角で囲った部分はどういう考えに基づいて作られているのですか？？ どこから来たのでしょう… どなたかお願いします🙏

Check 292 例題 解答 漸化式 an+1= pan+f(n) (p≠1) t a = 3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 考え方 解答 1 漸化式 an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関す ある関係式を作り,引いて, {an+1-an} に関する漸化式を導く. 解答2 an に加える(または引く)nの1次式n+g を決定することにより, {an+pn+g}が等比数列になるようにする. CA an+1=3an+2n+3 ・①より、 an+2=3an+1+2(n+1)+3 ......2 練習 1203 漸化式と数学的帰納法 ②-①より, bn=an+1-an とおくと, bn+1=36n+2, an+2an+1=3(an+1-an) +2 #JAJCG) #4 n≧2のとき, n-1 より、 bn+1+1=3(6n+1), 61+1=12 8+²+. したがって,数列{6n+1} は初項12,公比3の等比数列 だから, b=a2-α=3a+2+3-a=11① より n-1 an= a₁ + Σbr=3+Σ(4·3²-1)=3+₁ COND k=1 k=1 bn+1=12.3-1=4.3n bn 4.3"-1 ε+as+|α==1 12 (3-1-1) 3-1 -(n-1) =6.3"-1-n-2=2・3"-n-2 n=1 のとき, a=2･3'-1-2=3より成り立つ.tat よって, an=23" n-2 ることができる 解答2p,g を定数とし, an+1+(n+1)+g=3 (anton+g)とおくと ②は①のnにn+1 を代入したもの 差を作り, n を消去 する ** az=3a1+2+3=14 α=3a+2 より, +ms+8= 3 a=-n- となる. これより, an+1+n+ 2 + 2 = 3 (a₁ +n + ²) 2 12・3"-1=4・3・3n-1 =4·3n 6・37-1=2・3・3″-1 = 2.3" n=1のときを確認 =2 さ 注》例題 291 (p.515) のように例題 292 でも特性方程式を使うと,α=3a+2n+3 より, STAILI 3 3¹ 2 an+1=3an+2pn+2g-p an+1+pn+p+α もとの漸化式と比較して, 2p = 2,2g-p=3より, p=1,g=2 =3an+3p+3g よ したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a +1+2=6 り, an+1=3an+2pn より,数列{an+n+2} は初項 6,公比3の等比数列 +2g-p a₁=3 よって, an+n+2=6・3"-=2･3" より, an=2.3"-n-2 a Focus!T>AT 階差数列を利用して考える 517 第8 順番になっていない イト 。 といと変形できるが、等比数列を表していないので,このことを用いることはできない。 注 意しよう.(p.518 Column 参照) 2014-07 Ⓒp+10305 533) (TH)4 Jc33>83 0-0- a1=2, an+1=2an-2n+1 (n=1,2, 3, .....) によって定められる数列{an}