a=3, an+」=2an+3"+1 によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
1 (n)に nが含まれない ようにするため, 漸化式の 両辺を qで割る。
564
基本 例題118 an+ュ=D pa,tg"型の漸化式
OOO0。
【信州大)
基本116
基本124,Y8、
2.0n+Lー(n)=- となり,nが含まれない。
9 g"
an+1
q
指金
1
bn+1=2b。+
q
q
an
2
-=Db, とおくと
bn+1=●b,+ Aの形 に帰着。
b.560 基本例題116と同様にして一般項 b, が求められる。
dn
+▲の形を導き出す。
an+1
例題は,漸化式の両辺を3"+1 で割り,
37+1
3"
CHART 漸化式 an+1=pa,+q"両辺を g"+1 で割る
解答
an+1=2an+3"+1 の両辺を 3"+1 で割ると
2 an
+1
2an
37+1
2 an
an+1
37+1
3
37
3
3"
2
bn+1=
- bn+1
3
an+1
=bn+1
37+1
an
= bn とおくと
3"
これを変形すると
bn+1-3=-(b-3)
特性方程式
2
α=a+1から a=3
3
また
b」-3=
a1
ー3=
-3=-2
3
3
2
よって,数列{bnー3} は初項 -2, 公比号の等比数列で
ゆえに -3-2()
2」カ-1
An
n-1
bn-3=-2
3
2
3-21
0
=3"+1_3·2"
n-1
したがって
43"-2
n-1
An
=3-3リ-イ,2.27-1
3-イ
参考 an+1=2am+3"+1 の両辺を2"+1 で割ると
an+1
27+1
an
ニ
3 \n+1
2"
2
an
-= bn とおき, 階差数列を利用して解く方法もある(解答編p.413 を参照)。
2"
