2531の問題において、なぜこの変形ができるのでしょうか。

ZXK -TT Cos=sin= 13 複素数平面 基本 22) るのはどんな場合か。ただし20 Pi (21) - zo) 180° 解答 (1) 21+222=122+12 +2r20001-4 であるから(問題2529) 121221=VP12+122+2172cos(01-02) =V (2)|21 + 22|=2+122+2200(01-02) VT12+2222 (-1 cos(01-02)≤1) =|72|+|2|=|21|+|22| (3)上の不等式で等号が成り立つのは または 20で cos(01-02)=1のとき よって, 等号は 10 または 22=0または と 01) 研究 複素数平面上で 21, 22および2+を 点をそれぞれP1, P2 およびPとする。 原点O と P1, P2が一直線上にあるとき, PA じ直線上にあって, OP1, OP2 が同じ向きな で 01-02=360°xn(n=0, 1, 2, ...) のとき、 (3x+ya+aẞ) 11 Br 1 + + Y a a (a++) (By+a+a)(a+3+2) (7)(1/+/+/1/1) a =(a+B+2)(B)+ya+αβ) R2 R2 By+ya+aß k=a+B+71 (By+ra+aβ)(By+ra+aβ) とおくと20 ? (a+B+)(a+B+) (y+ya+aß) (7+7+āß) (a+B+1)(a+B+7) = R² 与式==R ド・モアブルの定理 § 1. 複素数平面 よって、nを負の整数とし, n=-mとおけば 803 (cos0+isin0)"={(cos0+isin0)''}" ={cos(-0)+isin(-0)}" mは正の整数であるから {cos(-0)+isin(-0)}'' = cos(-me)+isin(-m0) ∴. (cos0+isin0)"=cosn0+isin no 2533. 〈ド・モアブルの定理〉 基本 nは正の整数で,=1であるとき 0 がどのような実数値であっても (cosO+isin0)" =cosno+isinne が成り立つことを,数学的帰納法によって 証明せよ。 -2532. 〈ド・モアブルの定理〉 基本 解答] n は整数であるから OP=OP1+OP2 ..|21+22|=|21|+|22| OP1, OP2 が反対向きならば (1) (cosa+isina)(cosβ+isinβ) 次の等式を証明せよ。ただし,i=V-1 とする。 (cos0+isin0)" =cosnl+isinn0 において, n=1のとき x(cosy+isiny) OP=OP1 ~ OP2 ...|21 +22|=|21|~|22| =cos(a+β+y)+isin(a+β+y) O. P1, P2 が一直線上にないときPOP を2隣辺とする平行四辺形の頂点で (2) nが正の整数のとき OP1 ~ PiPOP < OP1 +P,P 2 P.POP2 であるから sin 02 ) |21|~|32|<|21 +22| <|21|+|22| P1 3 1) ① ② ③ をまとめて |21|~|22|≦|21+2 | =1+22], |31|+|22| -011 る る。 基本 この結果を三角不等式ということがある。 2531. 〈複素数の絶対値> (cos a + isina) (cos a2+ i sin a2) ...(cos an+isinan) (cos0+isin0)=cosno+isinno (1) (cosa +isina) (cosβ+isinβ) = (cos a cosẞ-sina sin ẞ) + i(sinacos β + cosasin β) = cos(a + β)+isin(a+β) :: {cos(a +β) +isin(a+β)}(cosy+isiny) = cos{(a +B)+r}+isin{(a +B)+y} =cos(a+β+2)+isin (a +β+7) (2) (1) と同様にして ①の左辺 = cose+isin0 ①の右辺 = cos0+isin0 よって、この場合, 等式① は成り立つ。 n=kの場合、①の成立を仮定すれば (cos0+isin0) = cosk0+isink0 (cosQ+isin0)k+1 (cos0+isin0) (cosQ+isin0) = (cos0+isin0) × (cosk0 +isink0 ) = (cosocosko-sin Asink0) +i (sin Acosk0 + cos0sink0 ) =cos(k+1)0+isin(k + 1)0 ......2 ②はn=k+1の場合も等式①の成り立つことを 示している。 よって、数学的帰納法により①はnが どんな正の整数でも成り立つ。 2534. 〈n 乗の計算〉 基本 複素数平面上において、原点を中心とす る半径Rの円周上の3点を複素数o.d で表すとき By+ya+aß la+B+7l の値を求めよ。 ただし, a + β+7 キ によって する。 成立す [解答 点α, B, は点Oを中心 半径Rの円上 にあるから a=|a|=R2 同様にβ・万=・=R2 = cos(a1+a2++an) isin(a1+a2+・・・+αn) ここでa=a2=...=an=0とおけば (cos0+isine)" =cosn+isinno 研究ド・モアブルの定理はn が 0 または負の整 数のときも成り立つ。 =0のとき明らか。 n=1のとき (cos +isin 0) cos 0-isin 0 (coso+isino) (coso-isin0 ) = cos(-0) + isin(-0) 次の式の値を求めよ。 (cos 15°+isin 15°) 2535 〈n 乗の計算〉 解答 与式 = cos(15°×6)+isin(15°×6)=i 基本 √3+i=r(cos0+isin0) に適するr, 0 を求め、それによって(√3+i)の値を計 算せよ。ただし,r> 0 とする。 解答 V3 +i=rcos0+irsin0 から rcos0v3rsin0=1 2式を平方して辺々を加えると

なぜ2の最後って積で確率を求めるのですか？

422 重要 例題 56 図形上の頂点を動く点と確率 0000 円周を6等分する点を時計回りの順に A, B, C, D, E, Fとし, 点Aを出発点 として小石を置く。 さいころを振り, 偶数の目が出たときは2, 奇数の目が出た ときには1だけ小石を時計回りに分点上を進めるゲームを続け、最初にAに ちょうど戻ったときを上がりとする。 (1) ちょうど1周して上がる確率を求めよ。 (2) ちょうど2周して上がる確率を求めよ。 指針 さいころを振ることを繰り返すから, 反復試行である。 (1) 1周して上がる → 偶数の回数m, 奇数の回数nの 方程式を作る。 [北海道] 基本52 重要 例題 さいころを続け 率は100 6 数 指針 (ア) 求め (イ)確 pk+1 かし や CH ..... 1,2をいくつか足して6にする。 F 偶 1周目にAにあってはいけない。 E BAはともに5だけ進むから,同じ確率になる。 D (2) 2周して上がる ...... A → F, F → B, B → A と分ける。 このときA→Fと (c) (1.4)のとき 2m+n=6 (1) ちょうど1周して上がるのに, 偶数の目が回 奇数の目がn と 解答 (m,nは0以上の整数) よって (m, n)=(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0) これらの事象は互いに排反であるから, 求める確率は ①②③④⑤ 43 ぐききき 5! [14] (2,2)のとき 2 +oC(1/2)(1/2)+(1/2)^(1/2)+(1/2)=1 64 回出ると (2) ちょうど2周して上がるのは,次の[1]→[2] → [3] の順に進む場合である。 [1] A から F に進む5逾[2] F から B に進む (A には止まらない) [3]BからAに進む進む (1) と同様に考えて, [1] ~ [3] の各場合の確率は ①②③④ [1] 2m+n=5から き この場合の確率は (m, n)=(0, 5), (1, 3), (2, 1) E (1/2)+(1/2)(1/2)+oca(1/2)(1/2)=3/2 [2] 偶数の目が出るときであるから,確率は 2.2 [3] 確率は[1] と同じであり よって, 求める確率は 21 × 32 21 23 12 +C 12 [3] BからAに進むと 21 441 5だけ進む。 これは [1] のAからFに進む (5 け進む)のと同じであり × 32 2048 確率も等しい。 さいこ 答 確率を 答 OES ここ PR- Þ 両 練習動点Pが正五角形ABCDE の頂点 A から出発して正五角形の周上を動くものと © 56 る。Pがある頂点にいるとき, 1秒後にはその頂点に隣接する2頂点のどちらか それぞれ確率 1/12 で移っているものとする。 (1)PがAから出発して3秒後にEにいる確率を求めよ。 練習 5 57 (2)PがAから出発して4秒後にBにいる確率を求めよ。 (3)PがAから出発して9秒後にAにいる確率を求めよ。 [類 産能大

なぜ（2）の答えの最後ってかけるのですか？

422 重要 例題 56 図形上の頂点を動く点と確率 0000 円周を6等分する点を時計回りの順に A, B, C, D, E, F とし,点Aを出発 として小石を置く。 さいころを振り, 偶数の目が出たときは2,奇数の目が出た ときには1だけ小石を時計回りに分点上を進めるゲームを続け,最初に点A ちょうど戻ったときを上がりとする。 (1) ちょうど1周して上がる確率を求めよ。 (2) ちょうど2周して上がる確率を求めよ。 指針 さいころを振ることを繰り返すから, 反復試行である。 (1) 1周して上がる 1,2をいくつか足して6にする。 F → 偶数の回数m, 奇数の回数nの方程式を作る。 (2) 2周して上がる ･･････ 1周目に Aにあってはいけない。 A→F, FB, B → A と分ける。 このときA→Fと BAはともに5だけ進むから、同じ確率になる。 E (1) ちょうど1周して上がるのに, 偶数の目が回奇数の目がn (t) 4)のとき と 解答 よって きききき 5! 1141 2.21のとき 2m+n=6 (mnは0以上の整数) (m, n)=(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0) これらの事象は互いに排反であるから, 求める確率は 43 (1/2)+(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)+(1/2)-47 【北海道大) 回出るとする (2) ちょうど2周して上がるのは,次の[1][2]→[3] の順に進む場合である。 [1] A から F に進む[2]F から B に進む (A には止まらない) [3]BからAに進む進む2891 (1) と同様に考えて, [1] ~ [3] の各場合の確率は 例題 57 重要 例 「さいころを続けて 率は 100 Ck × 6100 指針 (ア) 求める (イ)確率 +1 と かし,砕 や階乗 CHAR 解答 さいころ 確率をか ここで Dk+1 ① ② ③ ④ [1] 2m+n=5から (m, n)=(0, 5), (1, 3), (2, 1) PR 両辺 ぐぐきき +4C1 この場合の確率は1/2)+.(1/2)(1/2)+(1/2)^(1/2)=13/12 C これ 41 2.21 [2] 偶数の目が出るときであるから, 確率は 1 よっ [3] BからAに進むとき [3] 確率は [1]と同じであり 23 21 DE 32 よって, 求める確率は 21 1 21 441 × 32 2 32 2048 5だけ進む。 これは [1] のAからFに進む(5だ け進む)のと同じであり、 確率も等しい。 練習動点Pが正五角形ABCDE の頂点 A から出発して正五角形の周上を動くものとす ⑨ 56 る。Pがある頂点にいるとき, 1秒後にはその頂点に隣接する2頂点のどちらかに それぞれ確率 1/3で移っているものとする。 (1)PがAから出発して3秒後にEにいる確率を求めよ。 (3)PがAから出発して9秒後にAにいる確率を求めよ。 (2)PがAから出発して4秒後にBにいる確率を求めよ。 〔類 産能大] PR+ こ 練習 ⑤ 57 よし

解説の赤線引いたとこなんですけど、なんで４！じゃだめなんですか？？

③ 16 正四面体の各面に色を塗りたい。 ただし, 1つの面には1色しか塗らないものとし 色を塗ったとき, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなすことにする。 (1)異なる4色の色がある場合,その4色すべてを使って塗る方法は全部で何通り あるか。 (2)異なる3色の色がある場合を考える。 3色すべてを使うときは,その塗り方は 全部で何通りあるか。また、3色のうち使わない色があってもよいときは、その 塗り方は全部で何通りあるか。 [神戸学院大 ] の →19

4番について、 2つ目の図の隣にある文章で、両方を満たすと書いてありますがこの両方はなんのことですか？

05 演習題(解答は p.26) 平面上に3点0,A,Bがあり, OA|=4,|OB|=5, |AB|=7を満たしている。この とき 内積 OA・OB は (1) であり,三角形OAB の面積は (2) である。 また,実数 s,tに対して点P を OP =sOA+tOB により定めると,s, tが s≧0, t≧0, 1≦stt≦3 を満たすとき, 点Pが存在する範囲の面積は(3) であり,s, tが 1930-30 s≥0, t≥0, 0s+t≤1, 0≤s+4t≤2 を満たすとき,点Pが存在する範囲の面積は (4) である. (図る (明治学院大)る

【レクチャー】の黒の波線で引いた部分がなぜかわからないです。また、5つの円弧全て長さは等しいとしてはダメなのですか？

実力アップ問題 127 難易度 CHECK 1 CHECK 2 右図に示すような1辺の長さ2の正二十面体につい て,次の問いに答えよ。 CHECK 3 (1) 正五角形ABCDE の対角線 AC の長さを求めよ。 E D 2B' (2) 隣り合う面である△ OAB と △ OBCのなす角を 0 とおく。 cose の値を求めよ。 レクチャー ◆正五角形の性質◆ 五角形の問題は,受験では頻出なので,ここで, 正五角形を極め ておくのもいいと思う。 図ア 正五角形は,図アのように3つの三 角形に分割されるので, その内角の総 108° ◇108° 108° 108°108% 和は, 180°×3= 540° となる。 よって 正五角形の1つの頂角(内角) は、 こ図イ れを5で割った, 108° になるんだね。 次に,図イのように, 正五角形 ABCDE の外接円を考えよう。この 円弧 BC, CD, DE の長さは等しいの で,同じ円弧に対する円周角は等しい B E C D ね。 それを,図イでは “o” で示した。 この””は 頂角∠A=108°を3等分した36° を表すんだね。

数学の公式？で、図のようなものがあったのですが、何という名前がついていたか忘れてしまったので、教えていただきたいです。 cを出すとき、aと bを足せば出るよ。というものです。

1枚目の画像→問題 2､3枚目の画像→私の解答 私の解答は間違えています｡私の解き方で､③はa(n+1)+4an=6^(n-1)ではなく､a(n+1)+4an=6になる理由を教えていただきたいです｡

a1=1, a2=2, an+2+3an+1-4an=0

数Aの確率です ⑶の問題なのですが、2枚目の写真の解答だけでは理解できなかったので、解説お願いしたいです…💦 また、これは、SとYが隣り合っている上でこの順番で並んでいるのか、隣り合ってもいなくてもとにかくSが Yより左にある場合なのでしょうか？

文字列と 確率 37 SUNDAY の6文字を1列に並べるとき, 次の確率を求めよ。 (1) 両端が母音である確率 (2) SとYが隣り合う確率 (3)SがYよりも左側にある確率 ポイント1 順列と確率

急ぎでは無いんですけど、もし解ける方いたら教えてください😭 テストで出てきて分かりませんでしたショック🫨

8.点Pは正三角形ABC の辺に沿って頂点を移動でき,点Pははじめに頂点Aにあるとする。 このとき,次の操作を考える。 (操作)2枚の硬貨を同時に投げる。 表が2枚出れば、点Pは時計回りに隣の頂点に動く。 表が1枚だけ出れば、点Pは反時計回りに隣の頂点に動く。 表が出なければ、点Pは動かない。 この操作を続けて行うとき,2回目の操作終了時に点Pが頂点Aにある確率を求めよ。 ただし、途中式も解答欄に記述せよe