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|t-1|=|t-a|=|t-a2| が成り立つ。
整理すると (a+a-2)t=la12-1
......
|t-1|=|t-a22から
(t-1)²=(t-a²)(t-d²)
整理すると (a2+α²-2)t=|a|-1 3
練習 複素数平面上で, 相異なる3点 1, α, α2 は実軸上に中心をもつ1つの円周上にある。このよう
131
な点αの存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 更に、この円の半径をα を用いて表せ。
[東北大 ]
HINT 円の中心を表す実数をtとし,|t-1|=|t-α|=|t-α2|から導かれるα, tの関係式について
tを消去することを目指す。
3点 1,α, 2 はすべて互いに異なるから α = 1, α≠α2, a2=1
よって
α= 0, αキ±1
......
①
また,円の中心を表す実数をt とすると,
|t-1|=|t-alから (t-1)=(t-α)(t-d)
←まず,この条件につい
て調べる。
←t2-2t+1
=t-at-at+aa
←②でαを2におき換
式
a+α-2=0
④ とすると, ②から
|a|=1
すなわち
aa=1
④から
a=2-a
よって
a(2-a)=1
ゆえに
(a-1)²=0
よって a=1
これはα≠1 に反する。 ゆえに
α+α-2≠0
(2+2(2+2-1-1212)
(2+2)=(2+2) + \d+)?
la-1
よって, ② から t=
a+a-2
22 + 22-2-2--
②'を③に代入して
←t を消去。
|a|-1
(2+α²-2x
=|-1
α+α-2
(Jal-1){a2+α²-2-(a+α-2)(aa+1)}=0
(|a|+1)(|a|-1)la-1(a+α)=0
||=1 または α+α= 0
y
←al-1
=(a+1)(|a-1)
←{}の中
=q+q²-2-(a+¢)qa
-(a+a)+2aa+2
=α+(a)'+2ad
-(a+a)aa-(a+a)
よって
整理すると
α≠1 から
すなわち
||=1 または
(5)
(α の実部) = 0
①⑤ から, 求める図形は右図の実
-(a+α)
0
1x
線部分のようになる。
ただし, -1, 0, 1を除く。
また,円の半径は t-1に等しく
=(a+α)-(a+α) aa
=(a+α)(a+α-aa-1)
=-(a+α)(α-1)(α-1)
(i) |α| =1のとき,②'から lt=0
よって, 半径は1
(ii) α+α=0 のとき,②'から
t=-
la-1
2
半径は |-la-1
la²+1
2
2
(i), (ii) をまとめて 半径は
a+1
2
←|α|=1のとき
la²+1,
2
